2006全国二数学理类。
一、选择题。
1）已知集合m＝｛x|x＜3｝，n＝｛x|log2x＞1｝，则m∩n＝
ab）｛x|0＜x＜3c）｛x|1＜x＜3｝ （d）｛x|2＜x＜3｝
2）函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是。
a）2b）4cd）
a）ib）－icd）－
4)过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为。
abcd)
5)已知△abc的顶点b、c在椭圆＋y2＝1上，顶点a是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在bc边上，则△abc的周长是。
a）2b）6c）4d）12
6）函数y＝lnx－1(x＞0)的反函数为。
a）y＝ex＋1(x∈rb）y＝ex－1(x∈r) （c）y＝ex＋1(x＞1d)y＝ex－1(x＞1)
7）如图，平面α⊥平面β，a∈α，b∈β，ab与两平面α、β所成的角分别为和，过a、b分别作两平面交线的垂线，垂足为a′、b′，则ab∶a′b′＝
a）2∶1b）3∶1 （c）3∶2d）4∶3
8）函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log2x(x＞0)的图像关于原点。
对称，则f(x)的表达式为。
a)f(x)＝(x＞0b)f(x)＝log2(－x)(x＜0)
c)f(x)＝－log2x(x＞0d)f(x)＝－log2(－x)(x＜0)
9）已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为。
abcd)
10)若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝
a）3－cos2x （b）3－sin2x （c）3＋cos2x （d）3＋sin2x
11）设sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝
abcd）12）函数f(x)＝的最小值为。
a）190b）171c）90d）45
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡上．
13）在(x4＋)10的展开式中常数项是用数字作答）
14）已知△abc的三个内角a、b、c成等差数列，且ab＝1，bc＝4，则边bc上的中线ad的长为。
15）过点（1，）的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k
16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出人．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17）（本小题满分12分）
已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，
ⅰ）若a⊥b，求θ；
ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．
18）（本小题满分12分）
某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第。
一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；
ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．
19）（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱abc－a1b1c1中，ab＝bc，d、e分别为bb1、ac1的中点．
ⅰ）证明：ed为异面直线bb1与ac1的公垂线；
ⅱ）设aa1＝ac＝ab，求二面角a1－ad－c1的大小．
20）（本小题满分12分）
设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．
21）（本小题满分14分）
已知抛物线x2＝4y的焦点为f，a、b是抛物线上的两动点，且＝λ（0）．过a、b两点分别作抛物线的切线，设其交点为ｍ．
ⅰ）证明·为定值；
ⅱ）设△abm的面积为s，写出s＝f(λ)的表达式，并求s的最小值．
22）（本小题满分12分）
设数列｛an｝的前n项和为sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为sn－1，n＝1，2，3，…．
ⅰ）求a1，a2；
ⅱ）｛an｝的通项公式．
2024年生全国理科数学2参***。
一、选择题：⑴d ⑵d ⑶a ⑷a ⑸c ⑹b ⑺a ⑻d ⑼a ⑽c ⑾a ⑿c
二、填空题：⒀4525
三、解答题。
17．解：（ⅰ若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，……2分。
由此得 tanθ＝－1(－＜所以4分。
ⅱ）由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得。
a＋b｜＝＝10分。
当sin(θ＋1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝时，|a＋b|最大值为＋1．……12分。
18．解：（ⅰ可能的取值为0，1，2，3．
p(ξ＝0)＝·
p(ξ＝1)＝·
p(ξ＝2)＝·
p(ξ＝38分。
的分布列为。
数学期望为eξ＝1.2．
ⅱ)所求的概率为。
p＝p(ξ≥2)＝p(ξ＝2)＋p(ξ＝312分。
19．解法一：
ⅰ）设o为ac中点，连接eo，bo，则eoc1c，又c1cb1b，所以eodb，eobd为平行四边形，ed∥ob． …2分。
ab＝bc，∴bo⊥ac，又平面abc⊥平面acc1a1，bo面abc，故bo⊥平面acc1a1，ed⊥平面acc1a1，bd⊥ac1，ed⊥cc1，ed⊥bb1，ed为异面直线ac1与bb1的公垂线．……6分。
ⅱ）连接a1e，由aa1＝ac＝ab可知，a1acc1为正方形，a1e⊥ac1，又由ed⊥平面acc1a1和ed平面adc1知平面。
adc1⊥平面a1acc1，∴a1e⊥平面adc1．作ef⊥ad，垂足为f，连接a1f，则a1f⊥ad，∠a1fe为二面角a1－ad－c1的平面角．
不妨设aa1＝2，则ac＝2，ab＝ed＝ob＝1，ef＝＝，tan∠a1fe＝，∴a1fe＝60°．
所以二面角a1－ad－c1为6012分。
解法二：ⅰ）如图，建立直角坐标系o－xyz，其中原点o为ac的中点．
设a(a，0，0)，b(0，b，0)，b1(0，b，2c)．
则c(－a，0，0)，c1(－a，0，2c)，e(0，0，c)，d(0，b，c)． 3分。
（0，b，0），＝0，0，2c)．
＝0，∴ed⊥bb1．
又＝(－2a，0，2c)，＝0，∴ed⊥ac1， …6分。
所以ed是异面直线bb1与ac1的公垂线．
ⅱ）不妨设a(1，0，0)，则b(0，1，0)，c(－1，0，0)，a1(1，0，2)，(1，－1，0)，＝1，1，0)，＝0，0，2)，＝0，·＝0，即bc⊥ab，bc⊥aa1，又ab∩aa1＝a，bc⊥平面a1ad．
又 e(0，0，1)，d(0，1，1)，c(－1，0，1)，(1，0，－1)，＝1，0，1)，＝0，1，0)，＝0，·＝0，即ec⊥ae，ec⊥ed，又ae∩ed＝e， ec⊥面c1ad． …10分。
cos＜，＞即得和的夹角为60°．
所以二面角a1－ad－c1为6012分。
20．解法一：
令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－15分。
i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有 f(x)≥ax． …9分。
ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．
综上，a的取值范围是（－∞1]． 12分。
解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立． …3分。
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－16分。
当x＞ ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数， …9分。
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．
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