2024年高考数学试题(理工农医类)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把所选项前的字母填在题后括号内。
2)焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是【 】
a)y2=8(x+1) (b)y2=-8(x+1)
c)y2=8(x-1) (d)y2=-8(x-1)
3)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是【 】
4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有。
a)12对 (b)24对 (c)36对 (d)48对。
6)如果三棱锥s-abc的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点s在底面的射影o在△abc内，那么o是△abc的【 】
a)垂心 (b)重心 (c)外心 (d)内心
7)已知 是等比数列，且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于【 】
a)5b)10 (c)15 (d)20
a)(0,0),(6b)(-3,0),(3,0c)(0,0),(3,0d)(0,0),(6,0)
9)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有【 】
a)140种b)84种c)70种d)35种
a)第一象限b)第二象限c)第三象限d)第四象限
11)设甲、乙、丙是三个命题。如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么【 】
a)丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 (b)丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件。
c)丙是甲的充要条件 (d)丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
a)0b)1c)2d)3
13)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是【 】
a)增函数且最小值为－5b)增函数且最大值为－5
c)减函数且最小值为－5d)减函数且最大值为－5
a)1个b)2个c)3个d)4个
15)设全集为r,f(x)=sinx,g(x)=cosx,m=,n=,那么集合等于【 】
二、填空题：把答案填在题中横线上。
18)已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是45°,那么这个正三棱台的体积等于。
19)在(ax+1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，若实数a>1,那么a
20)在球面上有四个点p、a、b、c,如果pa、pb、pc两两互相垂直，且pa＝pb＝pc＝a.那么这个球面的面积是。
三、解答题。
21)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合。
23)已知abcd是边长为4的正方形，e、f分别是ab、ad的中点，gc垂直于abcd所在的平面，且gc＝2.求点b到平面efg的距离。
24)根据函数单调性的定义，证明函数f(x)=-x3+1在(-∞上。
是减函数。
25)已知n为自然数，实数a>1,解关于x的不等式。
2024年高考数学试题（理工农医类）答案。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
(1)a (2)d (3)b(4)b(5)a(6)d(7)a(8)d (9)c (10)c(11)a (12)c (13)b (14)c (15)d
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。
三、解答题。
21)本小题考查三角形函数式的恒等变形及三角函数的性质。
解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x
1+sin2x+(1+cos2x)
2+sin2x+cos2x
22)本小题考查复数基本概念和运算能力。
23)本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力。
解：如图，连结eg、fg、ef、bd、分别交ac于h、o. 因为abcd是正方形，e、f分别为ab和ad的中点，故ef∥bd,h为ao的中点。
bd不在平面efg上。否则，平面efg和平面abcd重合，从而点g在平面的abcd上，与题设矛盾。
由直线和平面平行的判定定理知bd∥平面efg,所以bd和平面efg的距离就是点b到平面efg的距离。
bd⊥ac,ef⊥hc.
gc⊥平面abcd,ef⊥gc,ef⊥平面hcg.
平面efg⊥平面hcg,hg是这两个垂直平面的交线。
作ok⊥hg交hg于点k,由两平面垂直的性质定理知ok⊥平面efg,所以线段ok的长就是点b到平面efg的距离。
注：未证明“bd不在平面efg上”不扣分。
24)本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力。
证法一：在(-∞上任取x1,x2,且x1∵x1∴x1-x2<0.
所以，函数f(x)=-x3+1在(-∞上是减函数。
证法二：在(-∞上任取x1,x2,且x1∵ x1∴ x1-x2<0.
x1,x2不同时为零，即 f(x2)所以，函数f(x)=-x3+1在(-∞上是减函数。
25)本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力。
解：利用对数换底公式，原不等式左端化为。
因为a>1,②式等价于。
logax因为a>1,②式等价于。
26)本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力。
依题意知，点p,q的坐标满足方程组。
将②式代入①式，整理得。
5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0. ③
根据根与系数的关系，有。
整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0. ⑥
将④,⑤式及c2=a2+b2代入⑥式，并整理得。
3a4+8a2b2-3b4=0,a2+3b2)(3a2-b2)=0.
因为 a2+3b2≠0,解得b2=3a2,整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0. ⑦
将④,⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式，解得a2=1.
将a2 =1代入b2=3a2 得 b2=3.
解法二：④式以上同解法一。
将④式及c2=a2+b2代入⑤式并整理得 3a4+8a2b2-3b4=0,即 (a2+3b2)(3a2-b2)=0.
因a2+3b2≠0,解得b2=3a2.
即 (x2-x1)2=10. ⑥
将④式代入⑥式并整理得(5b2-3a2)2-16a2b4=0.
将b2=3a2代入上式，得a2=1,将a2=1代入b2=3a2得b2=3.
故所求双曲线方程为。
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