中国大方题库网2024年试题。
数学试题分两部分。
第一部分。注意：第一部分共二十题，均答在题纸上，每题的中间印着一道横线，将正确的答案就填写在横线上。
例题：若2x-1=x+3,则x= 4 .
本题的正确答案是4,所以在横线上填写4.
1.分解因式：x4-y4
2.若log102x=2log10x,问x
6.两个圆的半径都是4寸，并且一个圆通过另一圆的圆心，则这两个圆的公共弦之长是寸。
7.三角形△abc的面积是60平方寸，m是ab的中点，n是ac的中点，则△amn的面积是平方寸。
8.正十边形的一内角是度。
9.祖冲之的圆周率。
10.球的面积等于大圆面积的倍。
11.直圆锥之底之半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为立方尺。
12.正多面体有种，其名称为。
14.方程式tan2x=1的通解为x
15.太阳仰角为30°时塔影长5丈，求塔高。
16.三角形△abc之b边为3寸，c边为4寸，a角为30°,则△abc的面积为平方寸。
17.已知一直线经过点(2,-3),其斜率为-１,则此直线之方程式为。
18.若原点在一圆上，而此圆的圆心为点(3,4),则此圆的方程式为。
19.原点至3x+4y+1=0之距离。
20.抛物线y2-8x+6y+17=0之顶点之坐标为。
第二部分。注意：第二部分共四题，均答在后面白纸上。
1.解方程式x4+5x3-7x2-8x-12=0.
2.△abc中，∠a的外分角线与此三角形的外接圆相交于d,求证：bd=cd.
3.设三角形的边长为a=4,b=5,c=6,其对角依次为a,b,c.(1)求cosc.(2)求sinc,sinb,sina.(3)问a,b,c三个角各为锐角或钝角？
4.一椭圆通过(2,3)及(-1,4)两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长短轴及焦点。
2024年试题答案。
第一部分。1. (x-y)(x+y)(x2+y2).
12. 5,正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体。
17. x+y+1=0.
18. x2+y2-6x-8y=0
第二部分。
a,b,c皆为锐角。
中国大方题库网2024年试题。
一、下列十题顺次解答，不必抄题（但须写明题号：甲，乙，丙……）结果务须明确，过程可以简单。
乙、若 3x2+kx+12=0之二根相等，求k.
戊、求tan(870°)
庚、两三角形相似之条件为何？（把你所知道的都写出来）
辛、长方体之长、宽、高为12寸，3寸，4寸，求对角线之长。
壬、垂直三棱柱之高为6寸，底面三边之长为3寸，4寸，5寸，求体积。
癸、球之表面积为36π方寸，求体积。
四、锐角三角形abc之三高线为ad,be,cf,垂心为h;求证hd平分。
edf.五、已知三角形的两个角为45°及60°,而其夹边长1尺；求最小边之长及面积。
2024年试题答案。
一、下列十题顺次解答，不必抄题（但须写明题号：甲，乙，丙……）结果务须明确，过程可以简单。
甲、将原方程整化得6(x2+1)=10(x2-1),故4x2=16,x=±2.
丙、原行列式=3×4×5-6×7-4×7+2×5
庚、(i) ∠a=∠a′,∠b=∠b′;
ii) ∠a=∠a′,ab∶a′b′=ac∶a′c′;
iii) ab∶a′b′=ac∶a′c′=bc∶b′c′;
三者各为△abc-△a′b′c′之条件。
壬、因32+42=52,故底面为直角三角形，其面积为。
棱柱体积=6×6立方寸=36立方寸。
癸、设球的半径为r寸，则4πr2=36π,∴r=3.
二、解：原方程组消去常数项，得。
2x2+5xy-12y2=0
将此方程左边分解因式，得。
x+4y)(2x-3y)=0,即 x+4y=0,2x-3y=0.
解方程组(ⅰ)得。
解方程组(ⅱ)得。
2)由二项展开式的通项公式：
令 36-4r=0,r=9.
故常数项为。
四、证明：由于ad⊥bc,be⊥ca, 点a,b,d,e共圆。
故 ∠ade=∠abe.
又因点f,b,c,e共圆， ∠fbe=∠fce.
又因点c,a,f,d共圆， ∠fca=∠fda.
综上可得∠ade=∠fda,即ad平分∠edf.
五、解：已知∠b=45°,∠c=60°,于是∠a=75°.
由正弦定理得。
中国大方题库网2024年试题。
一、下列六题顺次解答，不必抄题（但须写明题号：甲，乙，丙，……结果务须明确，过程可以简单。
丁、直角三角形弦上半圆的面积等于勾上半圆与股上半圆。
面积之和，试证明之。
戊、已知球的半径为r,求内接正方体的体积。
己、已知三角形的一边之长为a ,两邻角为β 及γ ,求计算边。
长 b的计算公式。
二、描绘y=3x2-7x-1之图象，并按下列条件分别求x 的值的范围：
i)y>0; (ii)y<0.
三、假设两圆互相外切，求证用连心线段为直径所作的圆必与前两圆的外公切线相切。
五、有一直圆锥，全面积为a;与之同底同高之直圆柱全面积为a′.求该圆锥高与母线之比。
2024年试题答案。
一、下列六题顺次解答，不必抄题，结果务须明确，过程可以简单。
乙、解：原式可化为。
于是有。丙、解：由 (3.02)4=(3+0.02)4
4×3×(0.02)3+(0.02)4,可知第4项的值已小于0.01,所以，计算可到第3项为止，其误差必小于千分之一。
丁、证：设直角三角形的勾为a,股为b,弦为c,则有。
c2=a2+b2
即弦上半圆面积=勾上半圆面积+股上半圆的面积。
戊、解：内接正方体的中心即该球的球心。正方体过中心的对角线为该球的直径，故其长为2r.若设正方体的边长为a,则有。
所以内接正方体的体积。
己、解：由正弦定理可知。
二、解：将原方程变形，可得。
抛物线与x轴的交点为：
当y>0时，x的取值范围为：
当y<0时，x的取值范围为：
三、证明：设⊙o1及⊙o2为互相外切的二圆，其中一外公切线为a1a2,切点a1及a2（如图）,令点o为连心线o1o2的中点，过o作oa⊥a1a2.
以o1o2为直径，即以o为圆心，oa为半径的圆必与直线a1a2相切。
同理可证，此圆必切于⊙o1及⊙o2的另外一条外公切线。
cosx+sinx=(cosx+sinx)2(cosx-sinx),cosx+sinx)(1-cos2x+sinx2)=0,2(cosx+sinx)·sin2x=0, cosx+sinx=0,sin2x=0.
由方程 cosx+sinx=0得，tgx=-1．
由方程 sin2x=0,得。
x=kπ（k为整数）.
由检验可知。
五、解：设直圆锥的高为h,底面半径为r,母线长为l,则。
2a(r+h)=a_(r+l).
两边同乘以，可得。
等式两边平方，16a(2a-a′)3>0,该一元二次方程有两个实根，解得。
即为圆锥的高与母线的比。
中国大方题库网2024年试题。
一、下列四题顺次解答，不必抄题（但须写明题号：甲，乙，丙，丁）.结果务须明确，过程可以简单。
甲、以二次方程x2-3x-1=0的两根的平方为两根作一二次方程。
乙、等腰三角形一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦。
丙、已知正四棱锥底边的长为a,侧棱与底面的交角为45°,求这棱锥的高。
丁、写出：二面角的平面角的定义。
二、求b,c,d的值，使多项式x3+bx2+cx+d适合下列三条件：
1)被x-1整除；
2)被x-3除时余2;
3)被x+2除与被x-2除时余数相等。
三、由直角三角形勾上一点d作弦ab的垂线交弦于e、股的延长线于f、外接圆周于q,求证：eq为ea与eb的比例中项又为ed与ef的比例中项。
四、解方程cos2x=cosx+sinx,求x的通值。
五、一三角形三边的长成等差级数，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这三角形为一直角三角形。
2024年试题答案。
一、甲、设方程x2-3x-1=0的二根为α,β
则 α+3, α1.
所求的二次方程为y2-11y+1=0.
乙、设△abc中ab=ac=4bc,ad为bc边上的高，则各角的余弦为：
丙、设s-abcd为一正四棱锥，sh为其高，底边的长。
为a,∠sah=45°,则 △sha为一等腰直角三角形，即 sh=ah.
但 ah为其底的对角线的一半，且其底边的长为a,丁、自二面角的棱上一点在其各面上作棱的垂线，此二垂线所夹的角叫做该二面角的平面角。
二、解：∵x3+bx2+cx+d可被x-1整除。
1+b+c+d=0; ①
x3+bx2+cx+d被x-3除余2, 27+9b+3c+d=2; ②
x3+bx2+cx+d被x+2除与被x-2除时余数相等， -8+4b-2c+d=8+4b+2c+d, ③
由③: c=-4.
代入①和②:
b+d=3, ④
9b+d=-13. ⑤
由④和⑤:8b=-16,b=-2,d=5.
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