2024年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工农医类）
第ⅰ卷。一、选择题：
1）是虚数单位，计算。
（a）－1b）1c） （d）
2）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是。
（a） （b） （c） （d）
（a）0b）1c） 2d）4
4）函数的图像关于直线对称的充要条件是。
（a） （b） （c） （d）
5）设点m是线段bc的中点，点a在直线bc外，则。
（a）8b）4c） 2d）1
6）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是。
（ab） （cd）
7）某加工厂用某原料由甲车间加工出a产品，由乙车间加工出b产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克a产品，每千克a产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克b产品，每千克b产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为。
（a）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱。
（b）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱。
（c）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱。
（d）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱。
8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则。
（a）0bc） 1d）2
9）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为a，在椭圆上存在点p满足线段ap的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是。
（a） （b） （c） （d）
10）由组成没有重复数字且都不与5相邻的六位偶数的个数是。
a）72b）96c） 108 （d）144
11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点m，n，那么m、n两点间的球面距离是。
（a）（b）
（c）（d）
12）设，则的最小值是。
（a）2 （b）4 （c） （d）5
第ⅱ卷。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
13）的展开式中的第四项是。
14）直线与圆相交于a、b两点，则___
15）如图，二面角的大小是60°，线段．
与所成的角为30°．则与平面所成。
的角的正弦值是。
16）设s为复数集c的非空子集．若对任意，都有，则称s为封闭集。下列命题：
①集合（为整数，为虚数单位）为封闭集；
②若s为封闭集，则一定有；
③封闭集一定是无限集；
④若s为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集．
其中真命题是写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17）（本小题满分12分）
某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望eξ．
18）（本小题满分12分）
已知正方体的棱长为1，点是棱的中点，点是对角线的中点．
（ⅰ）求证：为异面直线和的公垂线；
（ⅱ）求二面角的大小；
（ⅲ）求三棱锥的体积．
19）（本小题满分12分）
（ⅰ）证明两角和的余弦公式；
由推导两角和的正弦公式．
（ⅱ）已知△abc的面积，且，求．
20）（本小题满分12分）
已知定点，定直线，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的2倍．设点的轨迹为，过点的直线交于两点，直线分别交于点。
（ⅰ）求的方程；
（ⅱ）试判断以线段为直径的圆是否过点，并说明理由．
21）（本小题满分12分）
已知数列满足，且对任意都有。
（ⅰ）求；（ⅱ）设证明：是等差数列；
（ⅲ）设，求数列的前项和．
22）（本小题满分14分）
设（且），是的反函数．
（ⅰ）设关于的方程在区间上有实数解，求的取值范围；
（ⅱ）当（为自然对数的底数）时，证明：；
（ⅲ）当时，试比较与4的大小，并说明理由．
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