2024年全国高考湖北卷理科数学试题（理工农医类）
2024年08月17日**：中国教育新闻网－中国教育报。
第ⅱ卷（非选择题共100分）
注意事项：第ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。
11．设为实数，且，则 。
12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 。（精确到0．01）
13．已知直线与圆相切，则的值为 。
14．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 。（用数字作答）
15．将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如右图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中 。令，则 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
设函数，其中向量，，，
ⅰ）、求函数的最大值和最小正周期；
ⅱ）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。
17．（本小题满分13分）
已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。
ⅰ）、求数列的通项公式；
ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；
18．（本小题满分12分）
如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。
ⅰ）、试确定，使直线与平面所成角的正切值为；
ⅱ）、**段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明尼的结论。
19．（本小题满分10分）
在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。
ⅰ）、试问此次参赛学生总数约为多少人？
ⅱ）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
可共查阅的（部分）标准正态分布表。
20．（本小题满分14分）
设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。
ⅰ）、求椭圆的方程；
ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。
此题不要求在答题卡上画图）
21．（本小题满分14分）
设是函数的一个极值点。
ⅰ）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
ⅱ）、设，。若存在使得成立，求的取值范围。
荆楚***(楚天***)一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分。
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力。（满分12分）
解：（i）g（x）=cosx·1-sinx1+sinx+sinx·1-cosx1+cosx
cosx·（1-sinx）2cos2x+sinx·（1-cosx）2sin2x
cosx·1-sinxcosx+sinx·1-cosxsinx
∵x∈（π7π12］，∴cosx=-cosx，sinx=-sinx.
g（x）=cosx·1-sinx-cosx+sinx·1-cosx
sinx=sinx+cosx-2=2姨sin（x+π4）-2.
ⅱ）由π＜x≤17π12，得5π4＜x+π4≤5π3
∵sint在（5π4，3π2］上为减函数，在（3π2，5π3］上为增函数，又sin5π3＜sin5π4，∴sin3π2≤sin（x+π4）＜sin5π4（当x∈（π7π12］）.
即-1≤sin（x+π4）＜-22，-2姨-2≤2姨sin（x+π4）-2＜-3，故g（x）的值域为［-2姨-2，3）.
17、本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力。（满分12分）解：
i）ξ的分布列为：∴eξ=0×12+1×120+2×110+3×320+4×15=
ⅱ）由dη=a2dξ，得a2×2.75.=11，即a=±2.
又eη=aeξ+b，所以当a=2时，由1=2×1.5+b，得b=-2；当a=-2时，由1=-2×1.5+b，得b=4.
∴a=2，b=-2或a=-2，b=4即为所求。
18、本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力。（满分12分）
ⅰ）证明：如图，过点a在平面a1abb1内作ad⊥a1b于d，则由平面a1bc⊥侧面a1abb1，且平面a1bc∩侧面a1abb1=a1b，得。
ad⊥平面a1bc.又bc奂平面a1bc，所以ad⊥bc.因为三棱柱abc-a1b1c1
是直三棱柱，则aa1⊥底面abc，所以aa1⊥bc.又aa1∩ad=a，从而bc⊥侧面a1abb1.又ab奂侧面a1abb1，故ab⊥bc.
（ⅱ解法1：连接cd，则由（ⅰ）知∠acd是直线ac与平面a1bc所成的角，∠aba1是二面角a1-bc-a的平面角，即。
acd=θ，aba1=.
于是在rt△adc中，sinθ=adac，在rt△adb中，sin=adab，由ab＜ac，得sinθ＜sin.又0＜θ，2，所以θ＜.解法2：
由（ⅰ）知，以点b为坐标原点，以bc、ba、bb1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设aa1=a，ac=b，ab=c，则b（0，0，0），a（0，c，0），c（b2-c2，0，0），a1（0，c，a）于是bc=（b2-c2,0，0），ba1=（0，c,a），ac=（b2-c2，-c，0），aa1=（0，0，a）.
设平面a1bc的一个法向量为n=（x,y,z），则由n·ba1=0，n·bc=0，得。
cy+az=0，b2-c2姨x=0.可取n=（0，-a，c），于是n·ac=ac＞0，ac与n的夹角β为锐角，则β与θ互为余角。sinθ=cosβ=n·ac
n·ac=acba2+c2，cos=ba1·baba1·ba=ca2+c2，所sin=aa2+c2.
于是由c a2+c2，即sinθ＜sin，又0＜θ，2，所以θ＜ 19.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力。（满分13分） ⅰ）解法1:以o为原点，ab、od所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则a（-2，0），b（2，0），d（0，2），p（3，1），依题意得||ma|-|mb||=pa|-|pb|=（2+3）2+12姨-（2-3）2+12=22＜|ab|=4.∴曲线c是以原点为中心，a、b为焦点的双曲线。 设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c,则c=2,2a=22,∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲线c的方程为x2 2-y22=1. 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得||ma|-|mb||=pa|-|pb|＜|ab|=4.∴曲线c是以原点为中心，a、b为焦点的双曲线。 设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0),则由(3)2a2-12b2=1,a2+b2=4,解得a2=b2=2，曲线c的方程为x22-y22=1. ⅱ）解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线c的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0,①∵直线l与双曲线c相交于不同的两点e、f,∴1-k2≠0,△=4k）2+4×6（1-k2）＞0,═k≠±1,-3＜k＜3.∴k∈(-3,-1)∪（1，1）∪（1，3). ②设e（x1,y1）,f（x2,y2）,则由①式得x1+x2=4k1-k2,x1x2=-61-k2,于是|ef|=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（1+k2）(x1-x2）2 1+k2·(x1+x2）2-4x1x2=1+k2·223-k2|1-k2|· 而原点o到直线l的距离d=21+k2，s△oef=12d·|ef|=12·2 1+k2·1+k2·223-k2|1-k2|=223-k2 1-k2|,若△oef面积不小于22，即s△oef22,则有223-k2 1-k2|22═k4-k2-20，解得-2k2.③综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-2,-1)∪(1,1)∪(1,2].解法2： 依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线c的方程并整理，得（1-k2）x2-4kx-6=0.①∵直线l与双曲线c相交于不同的两点e、f，∴1-k2≠0,△=4k）2+4×6（1-k2）＞0,═k≠±1,-3＜k＜3.∴k∈(-3,-1)∪（1，1）∪（1，3). 20.本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题的能力。(满分12分)解：（ⅰ当0＜t燮10,v(t)=(t2+14t-40)e 14t50＜50,化简得t2-14t+40＞0，解得t＜4，或t＞10，又0＜t燮10，故0＜t＜4.②当10＜t燮12时，v(t)=4（t-10）(3t-41)+50＜50，化简得（t-10）(3t-41)＜0，解得10＜t＜41 3，又10＜t燮12，故10＜t燮12综上得0＜t＜4，或10＜t≤12，故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月。（ⅱ由（ⅰ）知，v（t）的最大值只能在（4，10）内达到。由v’（t）＝e14t（－14t2+32t+4）=－14e14t（t+2）（t-8），令v’（t）＝0，解得t=8（t=-2舍去）. 当t变化时，v’（t）与v（t）的变化情况如下表：由上表，v（t）在t=8时取得最大值v（8）=8e2+50=108.32（亿立方米）. 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米。 21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思考，考查综合分析问题的能力和推理论证的能力。（满分14分）（ⅰ证明： 假设存在一个实数λ，使是等比数列，则有a22=a1a3，即（23λ－3）2=λ（49λ－4）═49λ2－4λ＋9＝49λ2-4λ═9＝0，矛盾。所以不是等比数列。（ⅱ解： 因为bn+1=（-1）n+1［an+1-3（n+1）+21］=（1）n+1（23an－2n+14）=-23（-1）n·（an－3n+21）＝-23bn，又b1=-（18），所以当λ＝－18时，bn=0（n∈n*），此时不是等比数列；当λ≠－18时，b1=－（18）≠0，由上可知bn≠0，∴bn+1bn=-23（n∈n*）.故当λ≠－18时，数列是以－（λ18）为首项，-23为公比的等比数列。（ⅲ由（ⅱ）知，当λ＝－18时，bn=0，sn=0，不满足题目要求。 ∴λ18，故得bn=－（18）·（23）n-1，于是可得sn＝-35（λ＋18）·［1-（-23）n］.要使a＜sn＜b对任意正整数n成立，即a＜-35（λ＋18）·［1-（-23）n］＜b（n∈n*）.得a1-（-23）n＜-35（λ＋18）＜b1-（-23）n（n∈n*）. 令f（n）=1-（-23）n，则当n为正奇数时，1＜f（n）53；当n为正偶数时，59f（n）＜1，∴f（n）的最大值为f（1）＝53，f（n）的最小值为f（2）＝59，于是，由①式得95a＜-3 5（λ＋18）＜35b═-b-18＜λ＜3a-18.当a＜b3a时，由-b-18-3a-18知，不存在实数λ满足题目要求；当b＞3a时，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜sn＜b，且λ的取值范围是（-b-18，-3a-18）. a.2000元。b.2200元。c.2400元。d.2800元。9.设球的半径为时间t的函数 若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径。a.成正比，比例系数为c b.成正比，比例系数为2c c.成反比，比例系数为c d.成反比，比例系数为2c 10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各... 绝密 启用前。注意事项 1 答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息。2 请将答案正确填写在答题卡上。第i卷 选择题 1 设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 a.5 b.5c.4 id.4 i 2 设向量a,b满足 a b a b 则ab a.1 b.2 c.3d.5 3 钝角三角形abc的... 1997年普通高等学校招生全国统一考试。数学试题 理工农医类 一 选择题 本大题共15小题 第 1 10 题每小题4分，第 11 15 题每小题5分，共65分。1.设集合m 集合n 集合mn a b c d 2.如果直线a x 2 y 2 0与直线3x y 2 0平行，那么系数a a 3b 6cd ...2024年高考理科数学湖北卷
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