2024年全国高考理科数学答案（全国卷ⅱ）
一、 选择题，1. a 解析：
2. b 解析：
又。3. d 解析：
又。联立①②得。
4. b 解析：
所求切线方程为。
5. c 解析：联结。
设ab=1，则。
6. c 解析：
又∵==7. a 解析：
又。8. d 解析：将函数的图像向右平移个单位长度得到。
的图像，9. d 解析：设、
联立。联立①②③消去得。
10. c 解析：满足条件的选法可看成是不变条件限制的选法，排除选同样课程的选法即可，即选法共有(种)。
11. a 解析：设、即。联立。
消去y得。联立①②解得。
将④⑤代入③，消去得。
整理得。即。
12. b 解析：拆叠复位后观察即可。
二 、填空题。
13. 6 解析：
令解得r=2,的系数为。
14. 9 解析：
15. 8π 解析：设截面圆的半径为r，球的半径为r，由截面的性质得。
16. 5 解析：如图，设圆心o到弦bd的距离为，圆心o到弦ac的距离为。
三、解答题：
17、解分析：由，易想到先将代入得。然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得。
故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去。
也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。
18、（i）分析一：连结be，为直三棱柱，为的中点，。又平面，射影相等的两条斜线段相等）而平面，相等的斜线段的射影相等）。
分析二：取的中点，证四边形为平行四边形，进而证∥，，得也可。
分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。
ii）分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。
作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则。在中，由，易得。
设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得
即与平面所成的角为。
分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。。以下略。
分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参***。
解：（i）由及，有。
由，．．则当时，有．．．
－①得。又， 是首项，公比为２的等比数列．
ii）由（i）可得，
数列是首项为，公差为的等比数列．，
评析：第（i）问思路明确，只需利用已知条件寻找．
第（ii）问中由（i）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以．
20、分析：（i）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。
ii）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。
从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率。
iii）的可能取值为0，1，2，3，
21、解：(i）设，直线，由坐标原点到的距离为。
则，解得。又。
ii）由(i）知椭圆的方程为。设、
由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设。
代入椭圆的方程中整理得，显然。
由韦达定理有。
假设存在点p，使成立，则其充要条件为：
点，点p在椭圆上，即。
整理得。又在椭圆上，即。
故。将及①代入②解得。
=,即。当；
当。22、解： （i）
令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得。
当时，在内为增函数；
当时，在内为减函数；
当时，在内为增函数；
ii）由（i），
设，则。当时，在单调递增；
当时，，在单调递减。
故．2024年普通高等学校招生全国统一考试。
理科数学试题（必修选修ⅱ）参***和评分参考。
一、选择题。
m∩n= (b)
2.(a+bi)3=a3+3a2bi+3a(bi)2+(bi)3为实数时 3a2b-b3=0（b≠0）即b2=3a2 (a)
3. f(x)=是奇函数，图像关于原点对称 （c）
4. 令，由y=x,y=2z,y=x3在（-1，0）的图像知b＜a＜cc)
5.作出如图所示的可行域，并由x-3y=0知在b（-2，2）.z小=-8.(d)
6. (d)
7.原式=x的系数是1-4=-3 （b）
8.最大即得最大值得最大值。(b)
9.,则b）
10.取bo中点o，∥sd则为所求。令ab=1则c)
11.先计算角平分线斜率～=～即
12.如图球心到小圆心半径为 （c）
二、填空题。
13. 与平行，即解得。
15.直线代入，得则，16．这里已有便举出两个即可如两组相对侧面分别平行；一组侧面平行且全等，对角线交与一点；底面是平行四边形等。
三、解答题。
17．解：（ⅰ由，得，由，得．
所以．（ⅱ由得。
由（ⅰ）知，故 ，又 ，故 ，．所以 ．
18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人**险的人数为，则．
ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当， ，又，故．（ⅱ该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．
支出 ，盈利 ，盈利的期望为 ，由知，，
元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．
19．依题设知，．
ⅰ）连结交于点，则．
由三垂线定理知，． 在平面内，连结交于点，由于，故，与互余．于是．
与平面内两条相交直线都垂直，所以平面．（ⅱ作，垂足为，连结．由三垂线定理知，故是二面角的平面角．，．
．又，．．所以二面角的大小为．
20．解：（ⅰ依题意，，即，由此得．因此，所求通项公式为。
ⅱ）由①知，，于是，当时，当时，
又．综上，所求的的取值范围是．
21．（ⅰ解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，．如图，设，其中，且满足方程，故．①
由知，得；由在上知，得．所以，化简得，解得或．
ⅱ）解：由题设，，．
设，，由①得，故四边形的面积为。
当时，上式取等号．所以的最大值为．
22．解：ⅰ）．2分。
当（）时，，即；
当（）时，，即．
因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数． 6分。
ⅱ）令，则。
故当时，．又，所以当时，，即． 9分。
当时，令，则．
故当时，．因此在上单调增加．
故当时，即．
于是，当时，．
当时，有．因此，的取值范围是． 12分。
2007 理科数学试题（必修+选修ⅱ）参***．
一、选择题。
1. 解： 选（d）
2. 解：做出图像(a)↘↗b)↗↘c)↗(d)↘ 应选（c）
3. 解：应选（c）
4. 解： 令由图像可知最大应选(d)
5. 解：如图应选（a）
6. 解：，使用数轴标根法可知（c）正确。
7. 解：选a
8. 解： a解得应选（a）
9. 解：即向右平移两个单位，向上平移三个单位则，选c
10. 解：（一步到位） 应选（b）
11. 解：得选b
解：如图： a,b到准线的距离是。而应选（b）
二、填空题。
13.解：展开式常数项为。系数为所以常数项为70+2（-56）=-42.
14.解：从图像分布看关于x=1对称因而。
15.解：如图：高h=.
16.解：由an知d=-5.而上式极限为。
三、解答题。
17．解：（1）的内角和，由得．
应用正弦定理，知，．因为，所以，2）因为，所以，当，即时，取得最大值．
18．解：（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则互斥，且，故
于是． 解得（舍去）．
2）的可能取值为．
若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，故。
所以的分布列为。
19．解法一：
1）作交于点，则为的中点．
连结，又，故为平行四边形．
又平面平面．
所以平面．2）不妨设，则为等。
腰直角三角形．
取中点，连结，则．
又平面，所以，而，所以面．
取中点，连结，则．
连结，则．故为二面角的平面角。
所以二面角的大小为．
20．解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，即 ．得圆的方程为．
2）不妨设．由即得 ．
设，由成等比数列，得，即 ．
由于点在圆内，故。
由此得．所以的取值范围为．
21．解：（1）由。
整理得 ．又，所以是首项为，公比为的等比数列，得。
（2）方法一：
由（1）可知，故．
那么， 又由（1）知且，故，因此为正整数．
方法二：由（1）可知，因为，所以 ．
由可得，即
两边开平方得 ．
即为正整数．
22．解：（1）求函数的导数；．
曲线在点处的切线方程为：，即 ．
2）如果有一条切线过点，则存在，使。
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程。
有三个相异的实数根．
记 ，则 ．
当变化时，变化情况如下表：
由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则。
2024年全国高考理科数学答案
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