2024年全国高考理科数学模拟试题四。
一、选择题(每题5分，共60分)
1．全集，集合，，则（ ）
a． b． c． d．
2．已知是虚数单位，则复数对应的点位于复平面内的（ ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限。
3．以下函数，在区间内存在零点的是（ ）
a． b．
c． d．
4．已知函数的导函数的图像是一条如图所示的直线，直线与轴交于点，则与的大小关系为（ ）
a． b． c． d．无法确定。
5．“为第一象限角”是“”的（ ）
a．充分不必要条件 b．必要不充分条件。
c．充要条件 d．既不充分也不必要条件。
6．已知点在抛物线上，点到轴的距离与到焦点的距离之比为，则点到轴的距离为（ ）
a． b． c． d．
7．某同学在借助计算器求方程的近似数（精确度）时，构造函数，得出，且，他用“二分法”又取了个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为．那么他所取的个值中的第二个值为（ ）
a． b． c． d．
8．安排甲、乙、丙在周一至周五这五天值班，每天安排一人，每人至少值班一天，则不同的安排方案有（ ）
a． b． c． d．
9．在中，有正弦定理：定值，这个定值就是的外接圆的直径．如下图所示，中，已知，点在直线上从左到右运动（点不与、重合），对于的每一个位置，记的外接圆面积与的外接圆面积的比值为，那么（ ）
a．先变小再变大 b．先变大再变小。
c．是一个定值 d．仅当为线段的中点时，取得最大值。
10．如右图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几体的体积为（ ）
a． b． c． d．
11．已知奇函数是上的单调函数，若关于的函数只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
12．把函数的图像绕着原点顺时针旋转角度后恰与轴相切，则（ ）
a． b．
c． d．
二、填空题(每题5分，共20分)
13．等差数列中，已知，则该数列前项的和为 ．
14．中，已知，面积，则该三角形最长边的长度为 ．
15．中，，若，则 ．
16．如下图，是边长为的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，现给出关于函数的四个性质，其中说法正确的是 ．
在上单调递增；
当时，取得最大值；
对于任意的，都有．
三、解答题。
17．（本小题满分10分）设，函数，1）如果在上单调递增，求实数的取值范围；（5分）
2）当时，求函数在上的极值．（5分）
18．（本小题满分12分）某工厂有甲乙两条流水线生产同一种工艺品，随机在这两条流水线上各抽取件产品并称出它们的重量（单位：克）如下表，假设重量值落在的产品为优质品，否则为非优质品．
1）由以上统计数据填下面的列联表，并问是否有超过的把握认为“生产的零件是否为优质品与在不同流水线生产有关”？（6分）
2）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层）从每条流水线已抽取的件产品中各抽取五件产品，然后分别从中随机的各抽取两件，将这四件产品中的优质品数记为，求的数学期望．（6分）
附： 19．（本小题满分12分）已知平行四边形中，，为的中点，且是等边三角形，沿把折起至的位置，使得．
1）是线段的中点，求证：平面；（4分）
2）求证： ；4分）
3）求点到平面的距离．（4分）
20．（本小题满分12分）已知点与两个定点、距离的比是一个常数（）．
1）求点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；（4分）
2）当时，过点作斜率为的直线交轨迹于、两点，若，求；（4分）
若，求．（4分）
21．（本小题满分14分）已知，函数，为自然对数的底数，1）求函数的单调区间；（4分）
2）构造函数。
如果对于任意的正数，恒成立，求的取值范围；（5分）
如果对于任意的，总存在以为边长的三角形，求的取值范围．（5分）
请考生在第题中任选一题作答．(本题10分)
22．如图所示，过圆上一点的切线与圆一条直径所在的直线交于（在、之间），1）若，求的度数；（4分）
2）若，求的长．（6分）
23．已知参数方程为（为参数，）的直线经过椭圆的右焦点．
1）求的值；（4分）
2）设直线与椭圆的交于、两点，求的值．（6分）
参考公式：设，、是二次方程的两个根，则）
24．设，1）解关于的不等式；（4分）
2）如果恒成立，求实数的取值范围．（6分）
2024年全国高考理科数学模拟试题四答案。
一、选择题。
二、填空题13．； 14．； 15．； 16．②④
三、解答题。
17．解：（1）因为在上单调递增，故在上恒成立，；
2），由，得，，
结合，知在上递减，在上递增，故函数在上的极小值为，没有极大值．
18．解：（1）列联表如下，故有超过99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同流水线有关”；
2）甲流水线抽取优质品件，非优质品件；乙流水线抽取优质品件，非优质品件；
的可能取值为，；
所以的分布列为：
19．证明：（1）取的中点，连、，因为为中点，故，且，又，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，故平面；
2）折叠前，，，即。
在四棱锥中，即有，在中，，，由余弦定理得，又，由勾股定理的逆定理，得，又，从而平面，平面，得；
也可连，证平面）
3）由（2）知，平面，设点到平面的距离为，则由，得，解得．
也可取中点，连、，证面面，就是所求的距离）
20．解：设，依题意，，即，……1分。
化简整理得2分。
当时，轨迹表示直线3分。
当，轨迹是一个圆4分。
2）当时，轨迹的方程是，即，它表示圆心，半径的圆5分。
时，的方程为，即，……6分。
圆心到直线距离7分。
由勾股定理8分。
法一：因为，结合轨迹的定义，、…9分。
故有，即为线段的中点10分。
过圆心作的垂线，垂足为，由勾股定理，且………12分。
结合，可解得，即圆心到直线的距离为13分。
的方程为，即，故，解得14分。
法二：因为，结合轨迹的定义，、…9分。
故有，即为线段的中点10分。
设，则，代入圆的方程，得。
以及12分。
联立两个方程可解得或13分。
故或14分。
注：最后一问，得出后，也可以结合割线长定理求得的长度，据此再求）
21．解：（1），当时，；当时，；
于是的递增区间为，递减区间为；
2），当时，由，得，于是恒成立。
而，仅当时取等号，于是；
对于任意的，总存在以为边长的三角形，等价于当，；
当时，在恒成立，递减，，解得；
当时，在恒成立，递增，，解得；
当时，在，，递减；在，，递增；
又由（1）知，在上单调递减，故；
而，故恒成立，综上所述，．
22．解：（1）由，得圆的半径为，连，则，于是，；
2），由切割线定理，，，圆的半径为．
于是，在等腰中，，
根据余弦定理，．
23．解：（1）在椭圆中，右焦点，而直线经过定点，故；
不等式等价于或者，解得；
解法二：由，得，即，即，解得．
2），因为恒成立，故有，解得．
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