2024年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）理科数学试题答案与解析。
1. 解析因为，所以，故选a.
2. 解析 .令，则。
由得，故选c.
3. 解析由韦恩图易知充分性成立。反之，时，不妨取，此时。必要性成立。 故选c.
4. 解析把样本数据中的，分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中作出散点图，由图可知，. 故选b.
5. 解析设，，，因为，，在平面上的投影的坐标分别为，，，点在平面上，又点的横坐标小于点和的横坐标，所以该几何体的正视图为图。因为点，，在平面上的投影坐标分别为，，，点在平面上，所以该几何体的俯视图为图。
故选d.
评注本题考查了空间直角坐标系和三视图，考查了空间想象能力。本题也可以根据该四面体各项点的坐标画出几何体的直观图再求解。
6. 解析由得，是奇函数，所以，所以为区间上正交函数；
由得，所以，所以不是区间上的正交函数；由得，是奇函数，所以，所以为区间上的正交函数。 故选c.
7. 解析区域为直角及其内部，其面积。区域是直线和夹成的条形区域。由题意得所求概率。故选d.
评注本题考查了可行域和概率的基础知识。正确理解可行域的概念和掌握概率的求法是求解的关键。
8. 解析圆锥的体积，由题意得，近似取为，故选b.
9. 解析解法一： 设椭圆方程为，离心率为，双曲线的方程为。
离心率为，它们的焦距为，不妨设为两曲线在第一象限的交点，分别为左，右焦点，则易知解得。
在中，由余弦定理得，整理得，所以，即。设，所以，故的最大值是。
故选a.解法二：不妨设在第一象限，，.在中，由余弦定理得。设椭圆的长轴长为，离心率为，双曲线的实轴长为，离心率为，它们的焦距为，则。
所以，易知的最小值为。
故。故选a.
评注本题考查了椭圆、双曲线的定义、方程和性质；考查了利用不等式和函数求最值的基本方法。本题对运算能力的要求较高。
10. 解析当时，画出图像，再根据是奇函数补全图像。因为满足，，所以，即。故选b.
11. 解析 ，，因为，所以。故。
评注本题考查了直线和圆的位置关系，考查了直线的斜率和截距，考查了数形结合的思想方法。正确画出图形求出和的值时解题的关键。
12. 解析由题意知直线和与单位圆所在的位置如图。因此或。
故。评注本题考查了直线和圆的位置关系，考查了直线的斜率和截距，考查了数形结合的思想方法。正确画出图形求出和的值是解题的关键。
13. 解析设组成数的三个数字是，，，其中，所以。
即数的十位数字一定是。
由题意可知，程序循环到最后一次，的十位数字是，设的另两个数字是，其中，此时，若，则，无解。
若，则，解得，.所以。
14. 解析 （）若是，的几何平均数，则。由题意知，，，共线，所以，所以，所以可取。
）若是，的调和平均数，则，由题意知，，共线，所以，化简得，所以可取。
15. 解析由切割线定理得，所以，因为为的中点，所以。故。
16. 解析曲线为射线。曲线为圆。设为与的交点，如图，作垂直轴于点，因为，所以，又因为，所以与的交点的直角坐标为。
评注本题考查了参数方程和极坐标方程。容易忽视，误认为为直线。
17. 解析 （）因为，又，所以，.
当时，；当时，.
于是在上取得最大值，取得最小值。故实验室这一天最高温度为，最低温度为，最大温差为。
）依题意，当时实验室需要降温。由（）得，故有，即。又，因此，即。在时至时实验室需要降温。
评注本题考查了正弦函数的性质，考查了运算求解能力。正确利用正弦函数的单调性是解题的关键。计算失误是造成失分的重要原因之一，应充分重视。
18. 解析 （）设数列的公差为，依题意，，，成等比数列，故有，化简得，解得或。
当时，；当时，，从而得数列的通项公式为或。
）当时，.显然，此时不存在正整数，使得成立。
当时，.令，即，解得或（舍去），此时存在正整数，使得成立，的最小值为。
综上，当时，不存在满足题意的；
当时，存在满足题意的，其最小值为。
评注本题考查了数列的通项公式和求和公式，考查了分类讨论的方法。
19. 解析解法一：（几何方法）
）证明：如图，连接，由是正方体，知。
当时，是的中点，又是的中点，所以。所以。而平面，且平面，故直线平面。
）如图2，连接。因为，分别是，的中点，所以，且。又，，所以四边形是平行四边形，故，且，从而，且。
在和中，因为，，于是，所以四边形是等腰梯形。同理可证四边形是等腰梯形。
分别取，，的中点为，，，连接，，则，，而，故是面与面所成的二面角的平面角。
若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则。连接，，则由，且，知四边形是平行四边形。连接，因为，是，的中点，所以。
在中，由，得，解得，故存在，使面与面所成的二面角为直二面角。
解法二：（向量方法）
以为原点，射线，，分别为，，轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系。
由已知得，，，
）证明：当时，，因为，所以，即。而平面，且平面，故直线平面。
）设平面的一个法向量为，则由可得于是可取。同理可得平面的一个法向量为。若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则，即，解得。故存在，使使面与面所成的二面角为直二面角。
评注本题考查了线面平行的证明方法和二面角的计算。体现了利用平面的法向量解决二面角中有关求值问题的优势。充分利用方程的思想方法是解题的关键。
20. 解析 （）依题意，，，
由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过的概率。
为。）记水电站年总利润为（单位：万元）
1）安装1台发电机的情形。由于水库年**量总大于，故一台发电机运行的概率为，对应得年利润，.
2）安装2台发电机的情形。依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此；由此得的分布列如下：
所以，.3）安装3台发电机的情形。依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此；当时，三台发电机运行，此时，因此，由此得的分部列如下：
所以，.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台。
评注本题考查了概率和离散型随机变量的分布列。考查了分类讨论方法和运算求解能力。
21.解析 （）设点，依题意得，即，化简整理得。故点的轨迹的方程为。
）在点的轨迹中，记：，：依题意，可设直线的方程为。由方程组可得。①
1）当时，此时。把代入轨迹的方程，得。
故此时直线：与轨迹恰好有一个公共点。
2）当时，方程①的判别式为。②
设直线与轴的交点为，则由，令，得。③
）若由②③解得或。
即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有一个公共点。
)若或则由②③解得或。
即当时，直线与只有一个公共点，与有一个公共点。
当时，直线与有两个公共点，与没有公共点。
故当时，直线与轨迹恰好有两个公共点。
）若则由②③解得或。
即当时，直线与有两个公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有三个公共点。
综合（1）（2）可知，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点；当时，直线与轨迹恰好有两个公共点；
当时，直线与轨迹恰好有三个公共点。
评注本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了数形结合的方法，灵活地利用判别式时求解的关键。盲目利用抛物线的定义而漏掉射线就会造成错解二失分。
22.解析 （）函数的定义域为。
因为，所以。
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减。
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为。
）因为，所以，，即，.
于是根据函数，，在定义域上单调递增，可得，.
故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中。
由及（）的结论，得，即。
由，得，所以；由，得，所以。
综上，6个数中的最大数是，最小数是。
)由（）知，，.又由（）知，，得。
故只需比较与和与的大小。
由（）知，当时，，即。在上式中，令，又，则，从而，即得。①
由①得，，即，亦即，所以。又由①得，，即，所以。
综上可得，即6个数从小到大的顺序为，，，
评注本题考查了函数和导数的综合应用；考查了不等式求解的能力，考查了分析问题、解决问题的综合能力。充分考查了考生的综合素质。在平时的学习过程中应充分培养综合解决问题的能力。
2024年高考理科数学湖北卷
a.2000元。b.2200元。c.2400元。d.2800元。9.设球的半径为时间t的函数 若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径。a.成正比，比例系数为c b.成正比，比例系数为2c c.成反比，比例系数为c d.成反比，比例系数为2c 10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各...
2024年高考数学试题湖北卷 理科
2007年普通高等学校招生全国统一考试 湖北卷 数学 理工农医类 全解全析。一 选择题 本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为 答案 选 解析 由展开式通项有。由题意得，故当时，正整数的最小值为...
2024年高考数学试题湖北卷 理科
2007年普通高等学校招生全国统一考试 湖北卷 一 选择题 本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为 答案 选 解析 由展开式通项有。由题意得，故当时，正整数的最小值为5，故选 点评 本题主要考察...