1. 已知为抛物线：的交点，过作两条互相垂直，，直线与交于、两点，直线与交于，两点，的最小值为（）
a． b． c． d．
答案】 a解析】
设倾斜角为．作垂直准线，垂直轴。
易知。同理，
又与垂直，即的倾斜角为。
而，即．当取等号。
即最小值为，故选a
2. 设，，为正数，且，则（）
a． b． c． d．
答案】 d答案】 取对数：.则。故选d
3. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列，…，其中第一项是，接下来的两项是，，在接下来的三项式，，，依次类推，求满足如下条件的最小整数：
且该数列的前项和为的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）
a． b． c． d．
答案】 a解析】 设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．
设第组的项数为，则组的项数和为。
由题，，令→且，即出现在第13组之后。
第组的和为组总共的和为。
若要使前项和为2的整数幂，则项的和应与互为相反数。即。则。
故选a一、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
4. 已知双曲线，（，的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为___
答案】 解析】 如图， ，
又∵，∴解得。
5. 如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为，、、为元上的点，，，分别是一，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱锥．当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：）的最大值为___
答案】 解析】 由题，连接，交与点，由题， ，即的长度与的长度或成正比。
设，则， 三棱锥的高。
则。令，，
令，即， 则。
则体积最大值为。
6. （12分）如图，在四棱锥中，中，且．
1）证明：平面平面；
2）若，，求二面角的余弦值．
解析】 （1）证明：∵，
又∵，∴又∵，、平面。
平面，又平面。
平面平面。2）取中点，中点，连接，
四边形为平行四边形。
由（1）知，平面。
平面，又、平面，
又∵，∴、、两两垂直。
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。
设，∴、设为平面的法向量。
由，得。令，则，，可得平面的一个法向量，∴
又知平面，平面，又。
平面。即是平面的一个法向量，
由图知二面角为钝角，所以它的余弦值为。
7. （12分）
为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
）试说明上述监控生产过程方法的合理性：
）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到）．
附：若随机变量服从正态分布，则．，．
解析】 （1）由题可知尺寸落在之内的概率为，落在之外的概率为．
由题可知。2）（i）尺寸落在之外的概率为，由正态分布知尺寸落在之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理．
ii），需对当天的生产过程检查．
因此剔除。剔除数据之后：．
8. （12分）
已知椭圆： ，四点，，，中恰有三点在椭圆上．
1）求的方程；
2）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．
解析】 （1）根据椭圆对称性，必过、
又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点。
将代入椭圆方程得，解得，
椭圆的方程为：．
2）当斜率不存在时，设。
得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．当斜率存在时，设。
联立，整理得，
则。又，此时，存在使得成立．
直线的方程为。
当时， 所以过定点．
9. （12分）
已知函数．1）讨论的单调性；
2）若有两个零点，求的取值范围．
解析】 （1）由于。
故当时，，．从而恒成立．在上单调递减当时，令，从而，得．
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增。
2）由（1）知，当时，在上单调减，故在上至多一个零点，不满足条件．
当时，．令．
令，则．从而在上单调增，而．故当时，．当时．当时。
若，则，故恒成立，从而无零点，不满足条件．
若，则，故仅有一个实根，不满足条件．
若，则，注意到．．
故在上有一个实根，而又．
且．故在上有一个实根．
又在上单调减，在单调增，故在上至多两个实根．
又在及上均至少有一个实数根，故在上恰有两个实根．
综上，．10. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数．1）当时，求不等式的解集；
2）若不等式的解集包含，求的取值范围．
解析】 （1）当时，，是开口向下，对称轴的二次函数．，当时，令，解得
在上单调递增，在上单调递减。
此时解集为．
当时，，．当时，单调递减，单调递增，且．
综上所述，解集．
2）依题意得：在恒成立．
即在恒成立．
则只须，解出：．
故取值范围是．
2024年高考理科数学全国卷1 答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试 全国新课标卷1 理科数学答案解析。解析 分析程序中各变量 各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知 该程序的作用是 求出12n a a a 中最大的数和最小的数其中a 为12n a a a 中最大的数，b 为12n a a a 中最小的数。提示 分析程序中各...
2024年高考理科数学全国卷
a b c d 9 已知x ln y log52，则。a x y z b z x y c z y x d y z x 10 已知函数y x 3x c的图像与x恰有两个公共点，则c a 2或2 b 9或3 c 1或1 d 3或1 11 将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同...
2024年高考理科数学试题 全国卷1
数。a b c 12 13 d 12 13 1 a 命题意图 本小题主要考查复数的基本运算，重点考查分母实数化的转化技巧。解析 2 记 那么。a.b.c.d.命题意图 本小题主要考查诱导公式 同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用。解析 所以。3 若变量满足约束条件则的...