2024年高考理科数学试题 全国卷1

发布 2022-03-27 12:13:28 阅读 5092

【解析】由等比数列的性质知, 10,所以 ,所以。

5)的展开式中x的系数是。

a) -4 (b) -2 (c) 2 (d) 4

【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况,尤其是展开式的通项公式的灵活应用,以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数,同时也考查了考生的一些基本运算能力。

解析】故的展开式中含x的项为 ,所以x的系数为-2.

6)某校开设a类选修课3门,b类选择课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有。

a) 30种 (b)35种 (c)42种 (d)48种。

命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想。

解析】:可分以下2种情况:(1)a类选修课选1门,b类选修课选2门,有种不同的选法;(2)a类选修课选2门,b类选修课选1门,有种不同的选法。所以不同的选法共有 + 种。

7)正方体abcd-中,b与平面ac所成角的余弦值为。

a b c d

【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法,利用等体积转化求出d到平面ac的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现。

解析】因为bb1//dd1,所以b与平面ac所成角和dd1与平面ac所成角相等,设do⊥平面ac,由等体积法得 ,即 .设dd1=a,则 ,

所以 ,记dd1与平面ac所成角为 ,则 ,所以 .

8)设a= 2,b=in2,c= ,则。

a a 【命题意图】本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用。

解析】 a= 2= ,b=in2= ,而 ,所以ac= =而 ,所以c( 9)已知、 为双曲线c:的左、右焦点,点p 在c上,∠ p = 则p到x轴的距离为。

a) (b) (c) (d)

【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理,考查转化的数学思想,通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力。

解析】不妨设点p在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得, .由余弦定理得。

cos∠ p = 即cos ,解得 ,所以,故p到x轴的距离为。

10)已知函数f(x)=|lgx|,若0(a) (b) (c) (d)

【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小题时极易忽视a的取值范围,而利用均值不等式求得a+2b ,从而错选a,这也是命题者的用苦良心之处。

解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去),或,所以a+2b=

又0f(1)=1+ =3,即a+2b的取值范围是(3,+∞

11)已知圆o的半径为1,pa、pb为该圆的两条切线,a、b为俩切点,那么的最小值为。

a) (b) (c) (d)

命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力。

解析】 如图所示:设pa=pb= ,apo= ,则∠apb=,po=, 令,则,即,由是实数,所以,解得或 .故 .此时 .

12)已知在半径为2的球面上有a、b、c、d四点,若ab=cd=2,则四面体abcd的体积的最大值为。

a) (b) (c) (d)

命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力。

解析】过cd作平面pcd,使ab⊥平面pcd,交ab与p,设点p到cd的距离为 ,则有 ,当直径通过ab与cd的中点时, ,故 .

绝密★启用前。

2024年普通高等学校招生全国统一考试。

理科数学(必修+选修ii)

第ⅱ卷。注意事项:

1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考。

证号填写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.第ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域。

内作答,在试题卷上作答无效。

3。第ⅱ卷共l0小题,共90分。

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.

注意:在试题卷上作答无效 )

13)不等式的解集是 .

13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法,利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路,也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致。

解析:原不等式等价于解得0≤x≤2.

14)已知为第三象限的角, ,则 .

14.【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能。

解析】因为为第三象限的角,所以,又 <0, 所以 ,于是有 ,所以 .

15)直线与曲线有四个交点,则的取值范围是 .

15.(1,【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想。

解析】 如图,在同一直角坐标系内画出直线与曲线 ,观图可知,a的取值必须满足解得 .

16)已知是椭圆的一个焦点,是短轴的一个端点,线段的延长线交于点,且,则的离心率为 .

命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识,考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点:“数研究形,形助数”,利用几何性质可寻求到简化问题的捷径。

解析】如图, ,作轴于点d1,则由,得。

所以 ,即 ,由椭圆的第二定义得。

又由 ,得 ,整理得 .

两边都除以 ,得 ,解得 .

三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效)

已知的内角,及其对边,满足,求内角.

17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系,突出考查边角互化的转化思想的应用。

18)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)

投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评。

审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录。

用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5,复审的稿件能通过评审的概率为0.3.

各专家独立评审.

i)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;

ii)记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数,求的分布列及期望.

18. 【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想。

19)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)

如图,四棱锥s-abcd中,sd底面abcd,ab//dc,ad dc,ab=ad=1,dc=sd=2,e为棱sb上的一点,平面edc平面sbc .

ⅰ)证明:se=2eb;

ⅱ)求二面角a-de-c的大小 .

命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。

20 )(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)

已知函数 .

ⅰ)若,求的取值范围;

ⅱ)证明: .

命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力,同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想。

21)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)

已知抛物线的焦点为f,过点的直线与相交于、两点,点a关于轴的对称点为d .

ⅰ )证明:点f在直线bd上;

ⅱ)设,求的内切圆m的方程 .

命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题,主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系,直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力,同时考查了数形结合思想、设而不求思想。

22)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)

已知数列中, .

ⅰ)设,求数列的通项公式;

ⅱ)求使不等式成立的的取值范围 .

命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能,同时考查分析、归纳、**和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查。

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