【解析】由等比数列的性质知， 10,所以 ,所以。
5)的展开式中x的系数是。
a) -4 (b) -2 (c) 2 (d) 4
【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力。
解析】故的展开式中含x的项为 ,所以x的系数为-2.
6)某校开设a类选修课3门，b类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有。
a) 30种 (b)35种 (c)42种 (d)48种。
命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想。
解析】:可分以下2种情况：(1)a类选修课选1门，b类选修课选2门，有种不同的选法；(2)a类选修课选2门，b类选修课选1门，有种不同的选法。所以不同的选法共有 + 种。
7)正方体abcd-中，b与平面ac所成角的余弦值为。
a b c d
【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出d到平面ac的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现。
解析】因为bb1//dd1,所以b与平面ac所成角和dd1与平面ac所成角相等，设do⊥平面ac，由等体积法得 ,即 .设dd1=a,则 ,
所以 ,记dd1与平面ac所成角为 ,则 ,所以 .
8）设a= 2,b=in2,c= ,则。
a a 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用。
解析】 a= 2= ,b=in2= ,而 ,所以ac= =而 ,所以c( 9)已知、 为双曲线c:的左、右焦点，点p 在c上，∠ p = 则p到x轴的距离为。
a) (b) (c) (d)
【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力。
解析】不妨设点p在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得， .由余弦定理得。
cos∠ p = 即cos ,解得 ,所以，故p到x轴的距离为。
10）已知函数f(x)=|lgx|,若0(a) (b) (c) (d)
【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b ,从而错选a,这也是命题者的用苦良心之处。
解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+2b=
又0f(1)=1+ =3,即a+2b的取值范围是(3,+∞
11）已知圆o的半径为1，pa、pb为该圆的两条切线，a、b为俩切点，那么的最小值为。
a) (b) (c) (d)
命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力。
解析】 如图所示：设pa=pb= ,apo= ,则∠apb=，po=， 令，则，即，由是实数，所以，解得或 .故 .此时 .
12）已知在半径为2的球面上有a、b、c、d四点，若ab=cd=2,则四面体abcd的体积的最大值为。
a) (b) (c) (d)
命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力。
解析】过cd作平面pcd，使ab⊥平面pcd,交ab与p,设点p到cd的距离为 ,则有 ,当直径通过ab与cd的中点时， ,故 .
绝密★启用前。
2024年普通高等学校招生全国统一考试。
理科数学(必修+选修ii)
第ⅱ卷。注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考。
证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．第ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域。
内作答，在试题卷上作答无效。
3。第ⅱ卷共l0小题，共90分。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
注意：在试题卷上作答无效 )
13)不等式的解集是 .
13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致。
解析：原不等式等价于解得0≤x≤2.
14)已知为第三象限的角， ,则 .
14．【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能。
解析】因为为第三象限的角，所以，又 <0, 所以 ,于是有 ,所以 .
15)直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .
15.(1,【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想。
解析】 如图，在同一直角坐标系内画出直线与曲线 ,观图可知，a的取值必须满足解得 .
16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 .
命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径。
解析】如图， ,作轴于点d1,则由，得。
所以 ,即 ,由椭圆的第二定义得。
又由 ,得 ,整理得 .
两边都除以 ,得 ,解得 .
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效)
已知的内角，及其对边，满足，求内角．
17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用。
18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效)
投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评。
审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录。
用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．
各专家独立评审．
i)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
ii)记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望．
18. 【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识，以及运用概率知识解决实际问题的能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想。
19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥s-abcd中，sd底面abcd，ab//dc，ad dc，ab=ad=1，dc=sd=2，e为棱sb上的一点，平面edc平面sbc .
ⅰ）证明：se=2eb；
ⅱ）求二面角a-de-c的大小 .
命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。
20 )(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数 .
ⅰ）若，求的取值范围；
ⅱ）证明： .
命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想。
21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）
已知抛物线的焦点为f，过点的直线与相交于、两点，点a关于轴的对称点为d .
ⅰ ）证明：点f在直线bd上；
ⅱ）设，求的内切圆m的方程 .
命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想。
22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）
已知数列中， .
ⅰ）设，求数列的通项公式；
ⅱ）求使不等式成立的的取值范围 .
命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、**和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查。
2024年高考数学试题 理科 全国卷
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