2024年高校招生全国统一考试理数（陕西卷）
理科数学（必修+选修ⅱ）
解析重庆合川太和中学杨建。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。
1.集合a=，b=，则=【d】
a） （b）（c）（d）
解析：本题考查集合的基本运算。
2.复数在复平面上对应的点位于 【a】
a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限。
解析：本题考查复数的运算及几何意义。
所以点（位于第一象限。
3.对于函数f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是 【b】
在（，）上是递增的 b. f(x)的图象关于原点对称。
c. f(x)的最小正周期为 d. f(x)的最大值为2
解析：本题考查三角函数的性质。
f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数。
4.展开式中的系数为10，则实数a等于【d】
a.-1 b. c.1 d.2
解析：本题考查二项展开式的通项公式。
5.已知函数f(x)= 若f（f（0））=4a，则实数a等于【c】
a. b. c.2 d.9
解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2
6.右图是求样本，，…平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【a】
7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【c】
a. b. c.1 d.2
解析：本题考查立体图形三视图及体积公式。
如图，该立体图形为直三棱柱。
所以其体积为。
8.已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为【c】
a. b. 1 c.2 d.4
解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系。
法一：抛物线y2＝2px（p>0）的准线方程为，因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，所以。
法二：作图可知，抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切与点（-1,0）
所以。9.对于数列，“”是“为递增数列”的【b】
a.必要不充分条件 b. 充分不必要条件。
c.充要条件d.既不充分也不必要条件
解析：由知所有项均为正项，且，即为递增数列。
反之，为递增数列，不一定有，如-2，-1,0,1,2，….
10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]( x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 【b】
a. b. c. d.
解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除c、d，若x=57，y=6，排除a，所以选b
法二：设，
所以选b二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.
11.已知向量a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2），若（a+b）∥c，则m=-1
解析：，所以m=-1
12.观察下列等式：，，根据上述规律，第五个等式为。
解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+..i+1）的平方。
所以第五个等式为。
13.从如图所示的长方形区域内任取一个点m(x，y)，则点m取自阴影部分部分的概率为。
解析：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为，所以点m取自阴影部分部分的概率为。
14.铁矿石a和b的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的的排放量b及每万吨铁矿石的**c如下表：
某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求的排放量不超过2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为15（万元）
解析：设购买铁矿石a和b各x，y万吨，则购买铁矿石的费用。
x,y满足约束条件。
表示平面区域为。
则当直线过点b（1,2）时，购买铁矿石的最少费用。
z=1515.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
a．（不等式选做题）不等式的解集为。
解析：法一：分段讨论。
综上，原不等式解集为。
法二：利用绝对值的几何意义放在数轴上研究。
法三：借助函数的图像研究。
b. (几何证明选做题)如图，已知rt△abc的两条直角边ac,bc的长分别为3cm,4cm，以ac为直径的圆与ab交于点d，则
解析：,由直角三角形射影定理可得。
c.(坐标系与参数方程选做题)已知圆c的参数方程为（a为参数）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则直线l与圆c的交点的直角坐标系为__(1,1).(1,1)__
解析：直线l的极坐标方程为化为普通方程为y=1，所以直线l与圆的交点坐标为(-1,1).(1,1)
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16.（本小题满分12分）
已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列。
1） 求数列的通项公式。
2） 求数列的前n项和。
解：（1）由题设知公差d≠0
由且成等比数列得。
解得d=1,d=0（舍去）
故的通项。（2）由（1）知，由等比数列前n项和公式得。
17. （本小题满分12分。
如图，a，b是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于a点北偏东45°，b点北偏西60°的d点有一艘轮船发出求救信号，位于b点南偏西60°且与b点相距海里的c点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达d点需要多长时间？
解：由题意知海里，在中，由正弦定理得。
（海里），又海里，在中，由余弦定理得。
30（海里），则需要的时间（小时）。
答：救援船到达d点需要1小时。
注：如果认定为直角三角形，根据勾股定理正确求得cd，同样给分。
18. 如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd是矩形，pa⊥平面abcd，ap=ab=2,bc=,e,f分别是ad,pc的中点。
ⅰ）证明：pc⊥平面bef；
ⅱ）求平面bef与平面bap夹角的大小。
解法一：ⅰ）如图，以a为坐标原点，ab,ad,ap所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。，四边形abcd是矩形。
a,b,c,d,p的坐标为。
又e,f分别是ad,pc的中点，平面。
由（ⅰ）知平面bef的法向量，平面bap的法向量，=8
设平面bef与平面bap的家教为θ，则，，∴平面bef与平面bap的夹角为。
解法二：ⅰ）连接pe,ec，在和中，pa=ab=cd,ae=de, pe=ce,即是等腰三角形，又f是pc的中点，∴ef⊥pc，又是pc的中点，又。
ⅱ）∵pa⊥平面abcd, ∴pa⊥bc,又abcd是矩形，∴ ab⊥bc, bc⊥平面bap，bc⊥pb,又由（ⅰ）知pc⊥平面bef, 直线pc与bc的夹角即为平面bef与平面bap的夹角，在中，pb=bc, ,
所以平面bef与平面bap的夹角为。
19. （本小题满分12分）
为了解学生升高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
ⅰ）估计该校男生的人数；
ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；
ⅲ）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~18cm之间的概率。
解：ⅰ）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400人。
ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170~180cm之间的概率p=0.5
ⅲ）样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10，身高在170~180cm之间的人数为4，设a表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170~180cm之间”，则（或）
20. （本小题满分13分）
如图，椭圆的顶点为，焦点为，
ⅰ）求椭圆c的方程；
ⅱ）设n是过原点的直线，是与n垂直相交于f点、与椭圆相交于a,b亮点的直线，||1，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。解：
由知。由知a=2c
又。由①②③解得，故椭圆c的方程为。
设a，b两点的坐标分别为，假设使成立的直线存在，ⅰ）当不垂直于x轴时，设的方程为，由与垂直相交于p点且||=1得。
即，||1，1+0+0-1=0,即。
将代入椭圆方程，得。
由求根公式可得。
将④，⑤代入上式并化简得。
将代入⑥并化简得，矛盾。
即此时直线不存在。
ⅱ）当垂直于x轴时，满足的直线的方程为x=1或x=-1，当x=1时，a,b,p的坐标分别为，当x=-1时，同理可得，矛盾。
即此时直线也不存在。
综上可知，使成立的直线不存在。
21. （本小题满分14分）
已知函数。ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；
ⅱ）设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；
ⅲ）对（ⅱ）中的和任意的，证明：
解：ⅰ），由已知得解得， 两条直线交点的坐标为，切线的斜率为， 切线的方程为。
ⅱ）由条件知。
ⅰ）当a>0时，令，解得， 当时，在上递减；
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