ｊ霉鞭９
口本刊资料室。
一。选择题：本大题共８小题，每小题５
分，共４ｏ分．在每小题列出的四个选项中，选ｃ．２
出符合题目要求的一项．
．已知集合ａ一贝０ａ
．｛ｚ一２或２≤ｚ
．已知数列｛ａ 为等差数列，是它的前项和．若ａ 一２，ｓ一１２，则一（
．在极坐标系下，已知圆ｃ的方程为ｐ
一。ｃｏｓ则下列各点在圆ｃ上的是（）
．（１一号）ｂ．詈）
．（，孚）ｄ．
．执行如图所示的程序框图，若输出ｚ的值为２３，则输入的ｚ值为（
囊。蔚考鳍够雄～劳版一。
．已知平面ａｎ 一ｚ，ｍ是ａ内不同于ｚ
的直线，那么下列命题中错误的是（
．若ｍ／／则ｍ／／若ｍ／／则ｍ／／若ｍ上 ，则ｍ上ｚ
．若ｍ上ｚ，则ｍ上。
．已知非零向量、ｃ满足ａ＋ｂ向量ａ、ｂ的夹角为１２０且则向量ａ与ｃ的夹角为（
．如果存在正整数０２，和实数使得函数厂（ｚ）一为常数）的图象如图所示（图象经过点（１，那么叫的值为。
．已知抛物线ｍ：＝圆』＼，
ｚ—１一ｒ２（其中ｒ为常数，ｒ＞过点（１，的直线ｚ交圆ｎ于ｃ、ｄ两点，交抛物。
线ｍ于ａ、ｂ两点，且满足ｌａｃ的。
直线只有三条的必要条件是（
率一频西距∞
绳鳃圆ｊｌ。
率一频石距。
．ｒ∈专，４）
．ｒ∈号，＋。
二、填空题：本大题共６小题，每小题５
分。共３０分．把答案填在题中横线上．
．复数。一—
０．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了。
家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分。
别为ｓ、ｓ则它们的大小关系为率一频石距∞僻∞∞∞
用“＞”连接）乙。丙。
１．如图，ａ、是ｏ０上的三点，ｂｅ
切ｏ０于点ｂ，ｄ是ｃｅ与ｏ０的交点．若ｂａｃ一７０。则 ｃｂ一—
；若ｂｅ一，ｃｅ一４，则ｃｄ一。
２．已知平面区域ｄ一｛（，一１≤ｚ一１≤ｙ在区域ｄ内任取一点，则取到的点位于直线ｙ—ｋ愚∈ｒ）下方的概率为—
３．若直线ｌ被圆ｃ：．一２所截的弦长不小于２，则在下列曲线中：
ｙ—ｚ一２（ｚ一１）。一１
等一ｙ。一１
厶。与直线１一定有公共点的曲线的序号是。
写出你认为正确的所有序号）
４．如图，线段。
一８，点ｃ**段ａｂ
上，且ａｃ一２，ｐ为线段ｃｂ上一动点，点ａ绕点ｃ旋转后与点ｂ绕点ｐ旋转后重合于点。
．设ｃｐ—的面积为厂（ｚ）则。
．．．嚣麟邃进．＿ｌ鍪。
瓣瓣 ：强筒舄。
厂（ｚ）的定义域为—
厂（ｚ）的零点是（ｉ）求证：ａｂ平面ｄｅｇ
三、解答题：本大题共６小题，共８ｏ分．
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
５．（本小题共１３分）
在ａ４ｂ中，内角ａ、ｂ所对的边分别为，ｂ、已知ｔａｎ一 １，一，且ｃ一１．
厶。工）求ｔａｎ
ｉｉ）求△ａｂ的面积．
６．（本小题共１４分）
在如图的多面体中，上平面ａｅｂ
一２ａｄ一４，一，ａｅ一２，ｇ是ｂｃ的中点．
鸯毒ｉ高考试题设计版，一磷 ＿诗ｉ峨ｉ
ⅱ）求证：ｂｄ上嬲；
ⅲ）求二面角ｃ－ｄ的余弦值．
７．（本小题共１３分）
某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等。
品通过检测的概率为．现有１０件产品，其。
中６件是一等品，４件是二等品．
工）随机选取１件产品，求能够通过检测的概率；
翟。１ｉ）随机选取３件产品，其中一等品的件圆＿｜＿毫＿＿＿
ｈｉ）若在［１，一２．７上存在一。
数记为ｘ，求ｘ的分布列；
ⅲ）随机选取３件产品，求这三件产品。
都不能通过检测的概率．
８．（本小题共１３分）
已知函数厂（ｚ）一一。
口∈ｒ）工）若丑一１，求函数厂（ｚ）的极值；
ⅱ）设函数 （ｚ一－厂（）一ｇ（）求函。
数＾（ｚ的单调区间；
点ｚ。，使得成立，求的取值范围．
９．（本小题共１４分）
已知椭圆ｃ：＋以＞６＞经。
过点ｍ（１号），其离心率为１２．
ｉ）求椭圆ｃ的方程。
ⅱ）设直线ｚ：一 ＋ｍ愚ｌ≤１与。
椭圆ｃ相交于ａ、ｂ两点，以线段ｂ为邻边作平行四边形ｏａｐ其中顶点ｐ在椭圆ｃ
上，０为坐标原点．求ｌｃｊ的取值范围．
０．（本小题共１３分）
已知每项均是正整数的数列ａ：以 ，盘ｚ，口。，…口 ，其中等于ｉ的项有ｋ 个（一１，２设岛（一１，２一一。
．．．考。送叠赫。
＿＿＿移鬻：强９
ｉｉ）若数列ａ满足一。
一。ｉ）设数列求。
００，求函数ｇ（）的最小值．
０１１年北京市高誉蠢掌爱披试题精选（理科掌）参夸苔囊。
选择题。ａｎ（十 ）一一 ．
一、ⅱ）因为由（ｉ）结论可。
得：ａ一１３５
二、填空题。
因为ｔａｒ一 １＞一 １＞所以ｏ。去 １３
三、解答题１５．共１３分）
解：（工）因为ｔａｎ一一 ！垒 ± 垒。
一ｔａｎ所ｎｂ一ｎｃ一。以。一。
由 ａ一 ｃ
所以ｚｋ４的面积为。
６．（共１４分）
解：（ｉ证明。
代…ｔ郴。
。一。又‘．。一２ａｄ是ｂｃ的中点，．
四边形ａｄｇ是平行四边形，裔专方廖爱舟９
量愈鲺。≯鬻≯。｜
ａｂ平面ｄｅｇ平面ｄｅｇ
ｂ／／平面ｄｅｇ
ⅱ）解法１：
证明：’．上平面ａｅｂ平面。
ｆ上ａｅ，又ａｅ上。
２、儿轴建立如图的空间直角坐标系．
平面ｂｃｆ由已知得。
ｅ ｊ平面ｂｃｆ
过ｄ作ｄｈ／交ｅｆ于ｈ，则。平面ｂｃｆ
昭一一（一２，２
一一。ｄ上．
ⅲ）由已知得ｅｂ一（２，是平面ｅｆｄ的法向量．
设平面ｄｃｆ的法向量为７／＂一（．ｚ
ｆｄ一（ｏ，一ｌ，２一（２，
平面。一●ｊ—彳【ｆｃ一０一十一０，令＾
四边形。一。
ｅｈｄ为平行四边形，，得咒一（一１，２
ｅｈ—一２。
设二面角ｃ－ｄ的大小为 ，．
ｌｉ—一２，又。
则ｃｏ０一 ｏ 赢＞一。
一一 ，ｅ四边形ｉ？ｇ为正方形，．
二面角ｃ－ｄ的余弦值为一．
ｈ上日 ，又平面ｂｈｄ共１３分）
ｈ ｃ平面ｂｈｄ解：（工）设随机选取一件产品，能够通过。
ｌ平面ｂｈｄ
检测的事件为ａ，事件ａ等于事件“选取一等’
品都通过检测或者是选取二等品通过检测”，ｂ平面ｂｈｄ
ｄ上盼．ａ）一 ＋ 号一１３
解法２：ｉｉ）由题可知ｘ可能取值为ｏ，１
ｅｆ上平面ａｅｂ平面ａｅｂ一。
一 １＇一。
ｅ平面ａｅｂ上ａｅ，上ｂｅ，又ａｅ 皿。
一。ｂ、ｅ两两垂直．
以点ｅ为坐标原点，ｅｂ分别为。
（ｘ＿一。一 １＇
一。．．商考。速：照：鎏筻雪。一。
＿｜：强豫。
ｌｎｘ在［１，上的最小值小于零．
由（ｉｉ可知。
当１４－即ａ≥ｅ一１时，（ｚ在。
１，ｅ上单调递减，所以 （ｚ的最小值为 （ｇ由 （ｐ一。
一 ＜０可得ｎ＞
ⅲ）设随机选取３件产品都不能通过检测的事件为ｂ，事件ｂ等于事件“随机选取３件产品都是二等品且都不能通过检测”，因为 ｛＞一１，ｅ所以口＞ ±
所以，ｐ（一 （吉）。一 １．
８．（共１３分）
当１＋＆即ｎ≤０时，矗（ｚ）在［１，上单调递增，所以＾（ｚ最小值为ｈ（１由可得口＜一２；
解：（ｉ厂（ｚ）的定义域为（０，当ａ一１时，，（一一。一。
当１＜１以＜ｅ，即０＜ａ一１时，可得 （ｚ最小值为 （１口），因为所以，０＜
＆）＜以。厂（ｚ）
厂ｌ（＿极小。
故ｈ（１口）一口）＞２此时，（１口）＜０不成立．
综上讨论可得所求ｎ的范围是：口＞
所以＿厂（ｚ）在ｚ一１处取得极小值１．
ｉｉ）一ｚ＋
或ａ＜＿一口ｌｍ，共１４分）
ｔ（ｚ一１一。
一旦。解：（工）由已知可得 ２一。
所以３ａ 一４ｂ
一丢，一。二二！±
一。± ！二（±２
又点ｍ（１在椭圆ｃ上，所以 １＋
ｂｚ一１当以＋１＞时，即口＞一１时，在（０，口）上 （）在（１＋盘，＋∞上 （ｚ
由①②解之，得ａ 一４，ｂ一３．
０，所以 （ｚ在（ｏ，口）上单调递减，在。
１＋盘，＋。上单调递增；
当１＋ａ即口≤一１时，在（０，上ｈ （所以，函数 （）在（ｏ，上单调递增．
故椭圆ｃ的方程为 ＋等一１．
ⅱ）当忌一０时，ｐ（在椭圆ｃ上，解得ｍ一±
所以ｌ０ｐ一．
ｙ—ｋ在［１，上存在一点ｚ。，使得成立，即在［１，上存在一点．ｚ。使得ｈ（ｘ即函数 （ｌ一ｚ＋
一。当是≠。时’贝由＋警一１．
消ｙ化简整理得。
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鱼愈简岱ｌｍ 一１２—
鲫笨 ＿７翔ｌｌｌ
（１）一ｂ１—一一２，一一１２）一。
（２）一ｂ１＋一一３，ｇ一一一４，ｇ一一一４，８一贝４
设ａ、ｂ点的坐标分别为（ｚ
（５）一一一４．
ｏ—ｘ十ｚ 一～而。十。一。
ⅱ）一方面，ｇ（一ｇ（）科１一。
根据“数列ａ含有项”及６ 的含义知６故ｇ（ｍ一ｇ（）一。
由于点ｐ在椭圆ｃ上，所以 ＋警一１．
从而。一１，化简。
得４ｍ 一３＋４尼 ，经检验满足③式．
即。另一方面，设整数ｍ—ｍ口２，…口 ），则当ｍ≥ｍ时必有ｂ 一 ，所以一１）一。
（ｍ）一ｇ（ｍ一…
又ｌｏｐ一、／／一。一。
二［ 二亟一。
所以ｇ（）的最小值为ｇ（ｍ一１）．下面计算ｇ（ｍ一１）的值：
（ｍ一１）一一 （ｍ
一。一。ｂｌ一一 ）
厂———一。
一。一ｋ２一ｋ３一…一ｋｍ）一ｋ３一ｋ４一。一。一。
４一。一。
一。ｍ）＋一ｋ４一ｋ５一…一是ｍ）＋
因为０＜ｌ志ｌ≤ 得３＜４一ｋｍ）
一１）ｋ志志１
有丢≤＜１一一。
故 ＜ｌ华．
综上，所求ｉｏｐ的取值范围是。
＝：一。ａｌ＋口３＋…一。一。
倪１＋ 倪３＋…口 ）＋
口１＋口２＋口３＋…口一一１００一１）一一１００也可设ａ、ｂ点的坐标分别为来求解．
０．（共１３分）
（ｍ）最小值为一１００
责任编辑。李婷婷。
解：（ｉ根据题设中有关字母的定义，ｌ一２，志一０（ｊ一，６，
１—２一，ｂ４一４（一５，６鸯。
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