2023年普通高等学校招生全国统一考试。
理科数学试题（必修+选修ⅱ）参***。
一、选择题：
1）d （2）b （3）a （4）a （5）c （6）c
7）d （8）d （9）b （10）d （11）c （12）a
二、填空题：
三、解答题：
17）解：ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得．
由为锐角三角形知，．
所以．由此有，所以，的取值范围为．
18）解：ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
ⅱ）的可能取值为元，元，元．
的分布列为。
元）．19）解法一：
ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．
因为，所以，又，故为等腰直角三角形，由三垂线定理，得．
ⅱ）由（ⅰ）知，依题设，故，由，，，得。
的面积．连结，得的面积。
设到平面的距离为，由于，得。
解得．设与平面所成角为，则．
所以，直线与平面所成的我为．
解法二：ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，．
如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，，，所以．
ⅱ）取中点，连结，取中点，连结，．，与平面内两条相交直线，垂直．
所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．
．，所以，直线与平面所成的角为．
20）解：ⅰ）的导数．
由于，故．当且仅当时，等号成立）．
ⅱ）令，则。
ⅰ）若，当时，故在上为增函数，所以，时，，即．
ⅱ）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数．
所以，时，，即，与题设相矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是．
21）证明：
ⅰ）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，．
ⅱ）（当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．设，，则。
因为与相交于点，且的斜率为，所以，．
四边形的面积。
当时，上式取等号．
ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．
22）解：ⅰ）由题设：
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，即的通项公式为，．
ⅱ）用数学归纳法证明．
ⅰ）当时，因，，所以。
结论成立．ⅱ）假设当时，结论成立，即，也即．
当时，又，所以
也就是说，当时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知，．
2023年普通高等学校招生全国统一考试。
理科数学。本试卷分第ⅰ卷（选择题）和第ⅱ卷（非选择题）两部分．第ⅰ卷1至2页．第ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第ⅰ卷。注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式。
如果事件相互独立，那么其中表示球的半径。
球的体积公式。
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径。
一、选择题。
1）是第四象限角，，则（ ）
a． b． c． d．
解析】根据三角函数定义，不妨取终边上一点，，选d．
2）设是实数，且是实数，则（ ）
a． b．1 c． d．2
解析】，∵是实数，∴，解得1．选b．
3）已知向量，，则与（ ）
a．垂直 b．不垂直也不平行 c．平行且同向 d．平行且反向。
解析】由·=0，得与垂直，选a．
4）已知双曲线的离心率为2，焦点是，，则双曲线方程为（ ）
a． b． c． d．
解析】由及焦点是，，得，，，双曲线方程为．故选a．
5）设，集合，则（ ）
a．1 b． 1 c．2 d． 2
解析】由知或．若则无意义，故只有，（若，这与矛盾），∴故选c．
6）下面给出的四个点中，到直线的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（ ）
a． b． c． d．
解析】逐一检查，选c．
7）如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ d ）
a． b． c． d．
解析1】（综合法）不妨设ab=1，则a1a=2，连结bc1，a1c1，则ad1∥bc1，∠a1bc1为所求异面直线与所成角．在△a1bc1中，a1b= bc1=，a1c1=， 选d．
解析2】（坐标法）不妨设ab=1，则a1a=2，以a为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，与所成角的余弦值为，选d．
8）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ）
a． b．2 c．2 d．4
解析】∵，函数在定义域内为增函数．，，依题意有，．选d．
9），是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（ ）
a．充要条件 b．充分而不必要的条件 c．必要而不充分的条件 d．既不充分也不必要的条件。
解析】若“，均为偶函数”则，当然有；反之则未必，故选b．
10）的展开式中，常数项为15，则（ ）
a． b． c． d．
解析】的展开式的通项公式为，若常数项为15，令，，选d．
11）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（ c ）
a．4 b．3c．4d．8
解析】如图，过a作ab⊥x轴于b，设准线与x轴交点为c，直线fa：，代入，解得，，∴s矩形abck=，∴s矩形abck=．选c．
12）函数的一个单调增区间是（ ）
a． b． c． d．
解析1】，令，结合二次函数及余弦函数图像．
当时，y随u的增大而增大，故只需求此时u关于x的增区间，即．
当时，y随u的增大而减小，故只需求此时u关于x的减区间，即．
题目所给选项中，只有是上述区间的子区间，∴选a．
解析2】，
依题意，令，则或结合单位圆（如图）解得或。
题目所给选项中，只有是上述区间的子区间，∴选a．
第ⅱ卷。注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．第ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
3．本卷共10题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）
【解析】填36．从班委会5名成员中选出3名，共种；其中甲、乙之一担任文娱委员的种，则不同的选法共有=36种．
14）函数的图像与函数的图像关于直线对称，则 ．
【解析】．15）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为 ．
【解析】填．设数列的首项为，公比为，则4+4=，（
整理得，解得（舍去）．
16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为。
解析】填．如图，作正三棱柱abc-a1b1c1的直截面a0b0c0，取b0c0的中点o，过o作直线de，分别交aa1、bb1于d、e两点连结c0d、c0e，则三角形c0de为等腰三角形，若三角形c0de仍为直角三角形，设b0 e=x，应有，即，解得，这样，即等腰直角三角形c0de斜边长为．
2023年理 全国卷
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