2023年全国 1 卷理数 A 详细答案

2023年全国（1）卷理数（a）参***。

一、1~4：cbab，5~8：dabd，9~12：caba

11．解：可知渐近线为，所以，不妨设，则，又，所以，，．

12．解：考查直观想象．正方体中，题意等价于共顶点a的三条棱与平面所成的角相等，而共顶点a的三条棱与平面所成角相等，可知平面与平面平行，平面截正方体为六边形时，可知其周长不变，当六边形最接近圆时面积最大，即六边形为正六边形时面积最大。取棱的中点，得正六边形边长为，面积为．

二、13：6； 14：-63； 15：16； 16：；

16.解：，可知的最小值点在极值点中，由得极值点满足，当时，当时，所以的最小值是．

三、17.解：（1）由正弦定理得，解得，由，可知，所以；

（2），由余弦定理得＝25，所以bc＝5．

18.解：（1）易知，又，又，；

2）法一：不妨设正方形边长为2，由（1）知，又，途径一：又，又，，，得，或途径二：，得，]

作于o，又，所以dp与平面abfd所成角为，由，得，即dp与平面abfd所成角的正弦值为．

法二：不妨设正方形边长为2，作于o，又，所以dp与平面abfd所成角为，作于h，又，在中，，可得，可知，所以，得，，即dp与平面abfd所成角的正弦值为．

19.解：（1），c=1，得，可知l的方程为x=1，联立，解得，得，am的方程为；

2）设，当轴时，显然；

当l与x轴不垂直时，可设l的方程为，联立，得。

则，由，得，所以，可知．

21.解：（1），可知当时，，单调递增，可知当时，，单调递减，的最大值点；

2）检验的20件产品的检验费为元，i）余下的产品不用检验费，余下每件产品为不合格品的概率为，其中不合格品的件数，元；

ii）若检验余下的产品，则不用赔偿，只有检验费，总费用为为元，小于490元，所以应该检验余下的所有产品．

21.解：（1），设，当时，，在上单调递减，当时，当，即时，，得，在上单调递减，当时，，由，解得，可知当时，，得，单调递减，当时，，得，单调递增，当时，，得，单调递减，综合①②③知，当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，其中，．

2）法一：可知的两个极值点，即时，的两根，满足，所以，所以，要证，只需证，即要证，只需证，即要证（（*设（，则，所以在上单调递减，，即（*）式成立，得证．

法二：可知的两个极值点，即时，的两根，满足，所以，所以，要证，只需证，即要证，又，只需证，设，则t>0，只需证，又，所以只需证（*）设，则，易知在上单调递增，在上单调递减，所以，即（*）式成立，得证．

22.解：（1）（略）；

2）由图象可知k<0，且与相切，所以圆心到直线的距离，解得，所以为．

23.解：（1）（略）；

2）因为，，得成立，即成立，所以成立，即成立，由得，所以．