2023年全国卷 ii 理。
1. 已知集合 ，，则。
2. 若为实数，且 ，则。
3. 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是。
4. 已知等比数列满足 ，，则。
5. 设函数则。
6. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为。
7. 过三点 ，，的圆交轴于 ， 两点，则。
8. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的 ， 分别为 ，，则输出的。
9. 已知 ， 是球的球面上两点，， 为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为 ，则球的表面积为( )
10. 如图，长方形的边 ，，是的中点，点沿着边 ， 与运动，记 ．将动点到 ， 两点距离之和表示为的函数 ，则的图象大致为。
a. b.
c. d.
11. 已知 ， 为双曲线的左、右顶点，点在上， 为等腰三角形，且顶角为 ，则的离心率为( )
12. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是( )
13. 设向量 ， 不平行，向量与平行，则实数。
14. 若 ， 满足约束条件则的最大值为。
15. 的展开式中的奇数次幂项的系数之和为 ，则。
16. 设是数列的前项和，且 ，，则。
17. 在中， 是上的点， 平分 ， 面积是面积的倍．
1)求 ；2)若 ，，求和的长．
18. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从 ， 两地区分别随机调查了个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
记事件 ：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率．
19. 如图，长方体中，，，点 ， 分别在 ， 上，．过点 ， 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
1)在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
2)求直线与平面所成角的正弦值．
20. 已知椭圆 ，直线不过原点且不平行于坐标轴， 与有两个交点 ，，线段的中点为 ．
1)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
2)若过点 ，延长线段与交于点 ，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由．
21. 设函数 ．
1)证明： 在单调递减，在单调递增；
2)若对于任意 ，都有 ，求的取值范围．
22. 如图， 为等腰三角形内一点， 与的底边交于 ， 两点，与底边上的高交于点 ，且与 ， 分别相切于 ， 两点．
1)证明：；
2)若等于的半径，且 ，求四边形的面积．
23. 在直角坐标系中，曲线 （ 为参数，），其中 ．在以为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ，．
1)求与交点的直角坐标；
2)若与相交于点 ， 与相交于点 ，求的最大值．
24. 设 ，，均为正数，且 ，证明：
1)若 ，则 ；
2) 是的充要条件．
1. a 2. b 3. d 4. b 5. c
6. d 7. c 8. b 9. c 10. b
11. d 12. a
17. 【解析】(1) 因为 ，所以。
因为 ，所以 ，故 ．
在中，由正弦定理可得 ，所以 ．
(2) 在中，由正弦定理得，．
在中，由正弦定理得，．
因为 ，，由得，．
设 ，则 ．
在中，即 在中，即
又 ，由得 ．
18.【解析】 (1) 所求茎叶图为
由图可知地区满意度评分的平均值比地区的高， 地区满意度评分分布比较集中，并且分数偏高．
2) 设地区三个等级：非常满意，满意，不满意分别为事件：，，地区的三个等级分别为事件 ，，且事件与相互独立．
由已知得，，，
所以满足事件的概率为。
19. 【解析】(1) 如图，在上取 ．在上取 ．
连接 ，，即可．
2) 如图，以 ，，分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系．
则 ，，设平面的法向量为
则得 取 ，得 ．
又 ，设直线与平面所成角为 ，则 ．
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