第ⅰ卷。
一、选择题。
1．已知集合a＝，b＝，由数轴可知，选b.
2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
a．－4b．－ c．4d.
答案 d解析设z＝a＋bi，故(3－4i)(a＋bi)＝3a＋3bi－4ai＋4b＝|4＋3i|，所以；解得b＝.
3．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是。
a．简单随机抽样。
b．按性别分层抽样。
c．按学段分层抽样。
d．系统抽样。
答案 c解析不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样．
4．已知双曲线c：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则c的渐近线方程为( )
a．y＝±xb．y＝±x
c．y＝±xd．y＝±x
答案 c解析由e＝＝知，a＝2k，c＝k(k∈r＋)，由b2＝c2－a2＝k2知b＝k.
所以＝.即渐近线方程为y＝±x.故选c.
5. 执行右面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )
a．[－3,4]
b．[－5,2]
c．[－4,3]
d．[－2,5]
答案 a解析由程序框图知：
s＝，当－1≤t<1时，－3≤s<3；
当1≤t≤3时，s＝－(t－2)2＋4∈[3,4]，由①②知，s∈[－3,4]．故选a.
6. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
a. cm3
b. cm3
c. cm3
d. cm3
答案 a解析
作出该球轴截面的图像如图所示，依题意be＝2，ae＝ce＝4，设de＝x，故ad＝2＋x，因为ad2＝ae2＋de2，解得x＝3，故该球的半径ad＝5，所以v＝πr3＝.
7．设等差数列的前n项和为sn，sm－1＝－2，sm＝0，sm＋1＝3，则m等于( )
a．3 b．4 c．5 d．6
答案 c解析 am＝2，am＋1＝3，故d＝1，因为sm＝0，故ma1＋d＝0，故a1＝－，因为am＋am＋1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d
－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
a．16＋8π b．8＋8π c．16＋16π d．8＋16π
答案 a解析
将三视图还原成直观图为：
上面是一个正四棱柱，下面是半个圆柱体．
所以v＝2×2×4＋×22×π×4
故选a.9．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于( )
a．5b．6c．7d．8
答案 b解析 a＝c，b＝c，因为13c＝7c，解得m＝6.
10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为f(3,0)，过点f的直线交椭圆于a、b两点．若ab的中点坐标为(1，－1)，则e的方程为( )
a.＋＝1b.＋＝1
c.＋＝1d.＋＝1
答案 d解析设a(x1，y1)、b(x2，y2)，所以运用点差法，所以直线ab的斜率为k＝，设直线方程为y＝(x－3)，联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，所以x1＋x2＝＝2；
又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.
11．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
a．(－0b．(－1]
c．[－2,1d．[－2,0]
答案 d解析
函数y＝|f(x)|的图象如图．
当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立．
当a>0时，只需在x>0时，ln(x＋1)≥ax成立．
比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．
显然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．
当a<0时，只需在x<0时，x2－2x≥ax成立．
即a≥x－2成立，∴a≥－2.
综上所述：－2≤a≤0.故选d.
12．设△anbncn的三边长分别为an、bn、cn，△anbncn的面积为sn，n＝1,2,3，…，若b1>c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则( )
a．为递减数列。
b．为递增数列。
c．为递增数列，为递减数列。
d．为递减数列，为递增数列。
答案 b解析因为b1>c1，不妨设b1＝，c1＝；
故s1＝＝a；
a2＝a1，b2＝＝a1，c2＝＝a1，s2＝＝a.
显然s2>s1；a3＝a1，b3＝＝a1，c3＝＝a1，s3＝＝a，显然s3>s2.
第ⅱ卷。二、填空题。
13．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t
答案 2解析 ∵c＝ta＋(1－t)b，c·b＝ta·b＋(1－t)·b2
t×1×1×cos 60°＋(1－t)×12
t＋1－t1－t＝0.
t＝2.14．若数列的前n项和为sn＝an＋，则数列的通项公式是an
答案 (－2)n－1
解析当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，an＝sn－sn－1＝an－an－1，故＝－2，故an＝(－2)n－1.
15．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos
答案 －解析由f(x)＝sin x－2cos x得f′(x)＝cos x＋2sin x，令f′(x)＝0，即cos x＝－2sin x，由sin2x＋cos2x＝1得：
或，因为f(x)的最大值必然在f′(x)＝0时取得，当cos x＝－时，f(x)max＝.
16．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值是___
答案 16解析依题意，f(x－2)为偶函数，f(x－2)＝(x2＋4x－3)[x2＋(a－4)x＋4－2a＋b]，其中x3的系数为8－a，故a＝8，x的系数为28＋4b－11a，故b＝15，令f′(x)＝0，得x3＋6x2＋7x－2＝0，由对称轴为x＝－2可知，将该式分解为(x＋2)(x2＋4x－1)＝0，可知其在－2和－－2处取到最大值，最大值为16.
三、解答题。
17. 如图，在△abc中，∠abc＝90°，ab＝，bc＝1，p为△abc内一点，∠bpc＝90°.
(1)若pb＝，求pa；
2)若∠apb＝150°，求tan∠pba.
解 (1)因为pb＝，所以∠cbp＝60°，所以∠pba＝30°，由余弦定理得：
pa＝＝.2)设∠pba＝α，由已知得pb＝sin α，由正弦定理得＝，化简得cos α＝4sin α，故tan α＝
18．如图，三棱柱abc－a1b1c1中，ca＝cb，ab＝aa1，∠baa1＝60°.
1)证明：ab⊥a1c；
2)若平面abc⊥平面aa1b1b，ab＝cb＝2，求直线a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值．
1)证明如图，取ab的中点o，连接co、a1o.
ca＝cb，co⊥ab，又∵aa1＝ab，aa1＝2ao，又∠a1ao＝60°，∠aoa1＝90°，即ab⊥a1o，ab⊥平面a1oc，a b⊥a1c.
2)解 以o为原点，oa所在直线为x轴，oa1所在直线为y轴，oc所在直线为z轴，建立如图直角坐标系，则a(1,0,0)，a1(0，，0)，b(－1,0,0)，c(0,0，)，b1(－2，，0)，则＝(1,0，)，1，，0)，＝0，－，设n＝(x，y，z)为平面bb1c1c的法向量，则，所以n＝(，1，－1)为平面bb1c1c的一个法向量，所以直线a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值sin θ＝
19．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
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