一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知集合，，则
a. b.
c. d.
2. 设复数满足，则
a. b. c. d.
3. 函数的部分图象如图所示，则。
a. b.
c. d.
4. 体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为。
a. b. c. d.
5. 设为抛物线的焦点，曲线与交于点，，则
a. b. c. d.
6. 圆的圆心到直线的距离为，则
a. b. c. d.
7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为。
a. b. c. d.
8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待秒才出现绿灯的概率为。
a. b. c. d.
9. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为，，，则输出的
a. b. c. d.
10. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是。
a. b. c. d.
11. 函数的最大值。
a. b. c. d.
12. 已知函数满足，若函数与图象的交点为，，，则
a. b. c. d.
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 已知向量，，且，则。
14. 若， 满足约束条件，则的最小值为。
15. 的内角，， 的对边分别为，，，若，，，则。
16. 有三张卡片，分别写有和， 和， 和．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”，乙看了丙的卡片后说：
“我与丙的卡片上相同的数字不是”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是”，则甲的卡片上的数字是。
三、解答题（共8小题；共104分）
17. 等差数列中，，．
1）求的通项公式；
2）设，求数列的前项和，其中表示不超过的最大整数，如，．
18. 某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
1）记为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求的估计值；
2）记为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的”．求的估计值；
3）求续保人本年度的平均保费估计值．
19. 如图，菱形的对角线与交于点，点， 分别在， 上，， 交于点．将沿折到的位置．
1）证明：；
2）若，，，求五棱锥的体积．
20. 设函数，，，其中是的导函数．
1），，求的表达式；
2）若恒成立，求实数的取值范围；
3）设，比较与的大小，并加以证明．
21. 已知是椭圆的左顶点，斜率为的直线交于， 两点，点在上，．
1）当时，求的面积；
2）当时，证明：．
22. 如图，在正方形中，， 分别在边， 上（不与端点重合），且，过点作，垂足为．
1）证明：，，四点共圆；
2）若， 为的中点，求四边形的面积．
23. 在直角坐标系中，圆的方程为．
1）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
2）直线的参数方程是（为参数），与交与， 两点，，求的斜率．
24. 已知函数，为不等式的解集．
1）求；2）证明：当时，．
第一部分。1. d 2. c 3. a 【解析】由题图中数值可知，且周期，所以．
又因为，所以，所以可取．
4. a 5. d
解析】由抛物线方程可知，由，可知点的横坐标为，代入抛物线解得，代入曲线方程，解得．
6. a 【解析】将圆方程化为标准方程，解得圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，解得．
7. c 【解析】由三视图可知，圆柱的半径为，高为，上半部分圆锥的底面半径为，高，解得圆锥母线长，所以表面积为．
8. b 【解析】由题意可知至少等待秒绿灯才出现的概率．
9. c 【解析】第一次运算：，第二次运算：，第三次运算：．
10. d
解析】由题意可知函数的定义域为，值域为，对于a定义域为，值域为，对于b定义域为，值域为，对于c定义域为，值域为．
11. b 12. b 【解析】函数图象关于对称，函数图象也关于对称．
1）若为奇数，设，由对称可知：，解得．
2）若为偶数，设，由对称可知，解得．第二部分。
解析】已知，则，从而．
解析】由图知最小值在点处取到，最小值为．
解析】在中，因为，，所以，．所以．由正弦定理，可得．
16. 和。
解析】丙的卡片数字之和不是，所以分以下两种情况：
丙的卡片数字为和，则乙的卡片数字为和，甲的卡片数字为和．符合题意．
丙的卡片数字为和，则乙的卡片数字为和，甲的卡片数字为和，与已知矛盾．
综上，甲卡片数字为和．
第三部分。17. （1） 因为数列为等差数列，由题意得：
解得。故的通项公式是：．
2） 设所求得数列的前项和为；
18. （1） 记为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件的人数为：，该险种有名续保人， 的估计值为：；
2） 记为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的”．事件的人数为：，的估计值为：；
3） 续保人本年度的平均保费估计值为。
19. （1） 由已知得，．
又由得，故．
由此得，所以．
2） 由得．
由， 得．所以，．
于是，故．由（1）知，又，所以，于是．
又由，所以．
又由得．五边形的面积．
所以五棱锥的体积．
20. （1） 由题设得，．
由已知，，，可得．
下面用数学归纳法证明．
当时，，结论成立．
假设当时结论成立，即．
那么当时，，即结论成立．
由①②可知，结论对成立．
2） 已知恒成立，即恒成立．
设，则，当时，（仅当， 时等号成立），所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，所以时，（仅当时等号成立），当时，对恒有，所以在上单调递减，所以．
即时，存在，使，故知不恒成立，综上可知， 的取值范围是．
3） 由题设知，比较结果为．
证明如下，证法一：
上述不等式等价于，在（2）中取，可得，．
令，，则．下面用数学归纳法证明．
当时，，结论成立．
假设当时结论成立，即．
那么当时，即结论成立．由①②可知，结论对成立．
证法二：上述不等式等价于，在（2）中取，可得，．
令，，则．故有，上述各式相加可得，结论得证．
证法三：如图，是由曲线，，及轴所围成的曲边梯形的面积，而是图中所示各矩形的面积和，所以，结论得证．
21. （1） 设，则由题意知．
由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为．
又，因此直线的方程为．
将代入得．解得或，所以．
因此的面积．
2） 将直线的方程代入得．
由得，故．由题设，直线的方程为，故同理可得．
由得，即．设，则是的零点，所以在内单调递增．
又，因此在内有唯一的零点，且零点在内，所以．
22. （1） 因为，所以，则有，所以，由此可得．
因此，所以，，，四点共圆．
2） 由，，，四点共圆， 知，，连接，如图．
由为斜边的中点，知，故，因此，四边形的面积是面积的倍，即．
23. （1） 因为圆的方程为，所以，因为，所以的极坐标方程为．
2） 因为直线的参数方程是（为参数），所以，代入，得：直线的一般方程，因为与交与， 两点，，圆的圆心，半径，所以圆心到直线距离，解得，所以．
所以的斜率．
24. （1） 当时，不等式可化为：，解得：，所以，当时，不等式可化为：，此时不等式恒成立，所以，当时，不等式可化为：，解得：，所以，综上可得：；
2） 当时，即，即，即，即．
2023年高考文科数学新课标2卷全解全析
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