一、选择题。
1.等于( )
a．－－i b．－＋i c．－－i d．－＋i
解析 ＝＝i.故选d.
2．已知集合a＝，则a中元素的个数为( )
a．9 b．8c．5d．4
解析将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(1,0)，(1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选a.
3．函数f(x)＝的图象大致为( )
ab. c. d.
解析 ∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除a选项．
当x＝1时，f(1)＝＝e－＞0，排除d选项．
又e＞2，∴＜e－＞2，排除c选项．故选b.
4．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于( )
a．4b．3 c．2 d．0
解析 a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.
|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.故选b.
5．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
a．y＝±x b．y＝±x
c．y＝±x d．y＝±x
解析双曲线－＝1的渐近线方程为bx±ay＝0.
又∵离心率＝＝，a2＋b2＝3a2，∴b＝a(a＞0，b＞0)．
渐近线方程为ax±ay＝0，即y＝±x.故选a.
6．在△abc中，cos ＝，bc＝1，ac＝5，则ab等于( )
a.4bcd.2
解析 ∵cos＝，∴cosc＝2cos2－1＝2×－1＝－.
在△abc中，由余弦定理，得ab2＝ac2＋bc2－2ac·bc·cos c＝52＋12－2×5×1×＝32，ab＝＝4.故选a.
7．为计算s＝1－＋－设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )
a．i＝i＋1 b．i＝i＋2c．i＝i＋3 d．i＝i＋4
解析把各循环变量在各次循环中的值用**表示如下。
因为n＝n＋，由上表知i是从1到3再到5，一直到101，所以i＝i＋2.故选b.
8．我国数学家陈景润在哥德**猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德**猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
abcd.解析不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有＝45(种)情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，∴所求概率为＝.故选c.
9．在长方体abcd－a1b1c1d1中，ab＝bc＝1，aa1＝，则异面直线ad1与db1所成角的余弦值为( )
abcd.解析方法一如图，在长方体abcd－a1b1c1d1的一侧补上一个相同的长方体a′b′ba－a1′b1′b1a1.连接b1b′，由长方体性质可知，b1b′∥ad1，所以∠db1b′为异面直线ad1与db1所成的角或其补角．连接db′，由题意，得db′＝＝b′b1＝＝2，db1＝＝.
在△db′b1中，由余弦定理，得。
db′2＝b′＋－2b′b1·db1·cos∠db1b′，即5＝4＋5－2×2cos∠db1b′，∴cos∠db1b′＝.故选c.
方法二如图，以点d为坐标原点，分别以da，dc，dd1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系dxyz.
由题意，得a(1,0,0)，d(0,0,0)，d1(0,0，)，b1(1,1，)，1,0，)，1,1，)，1×1＋0×1＋()2＝2，|＝2，||cos〈，〉故选c.
10．若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是( )
abcd．π
解析 f(x)＝cos x－sin x＝－＝sin，当x∈，即x－∈时，y＝sin单调递增，f(x)＝－sin单调递减．
函数f(x)在[－a，a]上是减函数，[－a，a]，0＜a≤，∴a的最大值为。故选a.
11．已知f(x)是定义域为(－∞的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…f(50)等于( )
a．－50 b．0 c．2 d．50
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－f(x)]＝f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数且定义域为r得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…f(49)＋f(50)
0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选c.
12．已知f1，f2是椭圆c：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，a是c的左顶点，点p在过a且斜率为的直线上，△pf1f2为等腰三角形，∠f1f2p＝120°，则c的离心率为( )
abcd.解析如图，作pb⊥x轴于点b.
由题意可设|f1f2|＝|pf2|＝2，则c＝1，由∠f1f2p＝120°，可得|pb|＝，bf2|＝1，故|ab|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠pab＝＝＝解得a＝4，所以e＝＝.故选d.
二、填空题。
13．曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为___
解析 ∵y＝2ln(x＋1)，∴y′＝.令x＝0，得y′＝2，由切线的几何意义得切线斜率为2，又切线过点(0,0)，∴切线方程为y＝2x，即2x－y＝0.
14．若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为___
解析由不等式组画出可行域如图阴影部分(含边界)．目标函数x＋y取得最大值斜率为－1的直线x＋y＝z(z看作常数)在y轴上的截距最大，由图可得当直线x＋y＝z过点c时，z取得最大值．
由得点c(5,4)，∴zmax＝5＋4＝9.
15．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin
解析 ∵sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)1＝1，sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋
16．已知圆锥的顶点为s，母线sa，sb所成角的余弦值为，sa与圆锥底面所成角为45°，若△sab的面积为5，则该圆锥的侧面积为___
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