2024年普通高等学校招生全国统一考试。
理科数学（必修+选修ⅱ）
一、 选择题。
1．复数。ab． cd．
答案】c命题意图】本试题主要考查了复数的四则运算法则。通过利用除法运算来求解。
解析】因为。
2．已知集合，则。
a．0或 b．0或3 c．1或 d．1或3
答案】b命题意图】本试题主要考查了集合的概念和集合的并集运算，集合的关系的运用，元素与集合的关系的综合运用，同时考查了分类讨论思想。
解析】 ，故或，解得或或，又根据集合元素的互异性，所以或。
3．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为，则该椭圆的方程为。
a． b． c． d．
答案】c命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数，从而得到椭圆的方程。
解析】因为，由一条准线方程为可得该椭圆的焦点在轴上县，所以。故选答案c
4．已知正四棱柱中，为的中点，则直线与平面的距离为。
a．2bcd．1
答案】d命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用，以及点到面的距离的求解。体现了转换与化归的思想的运用，以及线面平行的距离，转化为点到面的距离即可。
解析】本题主要考查学生的空间想象能力。连接ac,交bd于点o,连接eo,过点o作oh⊥ac于点h,因为ab=2,所以ac=2,又cc=2,所以oh=sin 45°=1.，故选答案d。
5．已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为。
abcd．答案】a
命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前项和的公式的运用，以及裂项求和的综合运用，通过已知中两项，得到公差与首项，得到数列的通项公式，并进一步裂项求和。
解析】由可得。
6．中，边上的高为，若，则。
ab． c． d．
答案】d命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用，结合运用特殊直角三角形求解点d的位置的运用。
解析】由可得，故，用等面积法求得，所以，故，故选答案d
7．已知为第二象限角，，则。
abc． d．
答案】a命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用。首先利用平方法得到二倍角的正弦值，然后然后利用二倍角的余弦公式，将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题。
解析】，两边平方可得。
是第二象限角，因此，所以。
8．已知为双曲线的左右焦点，点在上，，则。
abc． d．
答案】c命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
解析】解：由题意可知，，设，则，故，，利用余弦定理可得。
9．已知，则。
abc． d．
答案】d命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用，采用中间值大小比较方法。
解析】，，故选答案d。
10．已知函数的图像与轴恰有两个公共点，则。
a．或2b．或3c．或1 d．或1
答案】a命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用。要是函数图像与轴有两个不同的交点，则需要满足极佳中一个为零即可。
解析】因为三次函数的图像与轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求。而，当时取得极值。
由或可得或，即。
11．将字母排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有。
a．12种b．18种c．24种 d．36种。
答案】a命题意图】本试题考查了排列组合的用用。
解析】利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有3种，再填写右上角的数为2种，在填写第二行第一列的数有2种，一共有。
12．正方形的边长为1，点在边上，点在边上，，动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时**，**时反射角等于入射角。当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为。
a．16b．14c．12d．10
答案】b命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用。通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图像分析反射的次数即可。
解析】解：结合已知中的点e,f的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到ea点时，需要碰撞14次即可。
二、 填空题。
13．若满足约束条件，则的最小值为。
答案】命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用。常规题型，只要正确作图，表示出区域，然后借助于直线平移法得到最值。
解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点时，目标函数最大，当目标函数过点时最小为。]
14．当函数取得最大值时。
答案】命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用，求解值域的问题。首先化为单一三角函数，然后利用定义域求解角的范围，从而结合三角函数图像得到最值点。
解析】由。由可知。
当且仅当即时取得最小值，时即取得最大值。
15．若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为。
答案】命题意图】本试题主要考查了二项式定理中通项公式的运用。利用二项式系数相等，确定了的值，然后进一步借助于通项公式，分析项的系数。
解析】根据已知条件可知，所以的展开式的通项为，令。
所以所求系数为。
16．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为。
答案】命题意图】本试题考查了斜棱柱中异面直线的角的求解。用空间向量进行求解即可。
解析】设该三棱柱的边长为1，依题意有，则。
而。三、解答题。
17．（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效）
的内角、、的对边分别为、、，已知，求。
命题意图】本试题主要考查了解三角形的运用，给出两个公式，一个是边的关系，一个角的关系，而求解的为角，因此要找到角的关系式为好。
解析】由，由正弦定理及可得。
所以。故由与可得。
而为三角形的内角且，故，所以，故。
点评】该试题从整体来看保持了往年的解题风格，依然是通过边角的转换，结合了三角形的内角和定理的知识，以及正弦定理和余弦定理，求解三角形中的角的问题。试题整体上比较稳定，思路也比较容易想，先将三角函数关系式化简后，得到角关系，然后结合，得到两角的二元一次方程组，自然很容易得到角的值。
18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，是上的一点，。
1）证明：平面；
2）设二面角为，求与平面所成角的大小。
命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。
从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。
解：设，以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则设。
ⅰ）证明：由得， 所以，，，所以，所以，，所以平面；
ⅱ） 设平面的法向量为，又，由得，设平面的法向量为，又，由，得，由于二面角为，所以，解得。
所以，平面的法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以与平面所成角为。
点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题和相似，底面也是特殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点的位置的选择是一般的三等分点，这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好。
19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立，。
甲、乙的一局比赛中，甲先发球。
1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
2）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。
命题意图】本试题主要是考查了独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值的问题。首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析、讨论，并结合独立事件的概率求解结论。
解：记为事件“第i次发球，甲胜”，i=1,2,3，则。
ⅰ）事件“开始第次发球时，甲、乙的比分为比”为，由互斥事件有一个发生的概率加法公式得。
即开始第次发球时，甲、乙的比分为比的概率为0.352
ⅱ）由题意。
所以。点评】首先从试题的选材上**于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用，以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题。情景比较亲切，容易入手，但是在讨论情况的时候，容易丢情况。
20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
设函数。1）讨论的单调性；
2）设，求的取值范围。
命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一就是函数中有三角函数，要利用三角函数的有界性，求解单调区间。另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用。
解：。ⅰ）因为，所以。
当时，，在上为单调递增函数；
当时，，在上为单调递减函数；
当时，由得，由得或；
由得。所以当时在和上为为单调递增函数；在上为单调递减函数。
ⅱ）因为。当时，恒成立。
当时，令，则。
又令，则。则当时，，故，单调递减。
当时，，故，单调递增。
所以在时有最小值，而。
2024年新课标全国理数解析版
答案 d 解析 由题意得，当时，共4中情形 当时，共3中情形 当时，共2中情形 当时，共1中情形，共计10中可能，所以集合b中的元素个数为10个，故选d.点评 本题考查了集合的运算性质，属于中抵挡试题，关键在于准确把握试题的条件，正确 合理分类求解。答案 a解析 由题意得，先由甲地选1名教师2名学生...
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