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2024年普通高等学校招生全国统一考试。
理科数学。注意事项：
1.本试卷分第ⅰ卷(选择题)和第ⅱ卷(非选择题)两部分。第ⅰ卷1至3页，第ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第ⅰ卷。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是。
abcd）解析】a，∴，故选a．
2）已知集合，，则。
ab）cd）
解析】c，∴，故选c．
3）已知向量，且，则m=
abc）6 （d）8
解析】d，∴
解得，故选d．
4）圆的圆心到直线的距离为1，则a=
a） （b） （c） （d）2
解析】a圆化为标准方程为：，故圆心为，，解得，故选a．
5）如图，小明从街道的e处出发，先到f处与小红会合，再一起到位于g处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为。
a）24 （b）18 （c）12 （d）9
解析】b有种走法，有种走法，由乘法原理知，共种走法。
故选b．6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为。
a）20π （b）24π （c）28π （d）32π
解析】c几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．
由图得，，由勾股定理得：，故选c．
7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为。
a） （b）
c） （d）
解析】b平移后图像表达式为，令，得对称轴方程：，故选b．
8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的，，依次输入的a为2，2，5，则输出的。
a）7 （b）12 （c）17 （d）34
解析】c第一次运算：，第二次运算：，第三次运算：，故选c．
9）若，则=
abcd）解析】d，故选d．
10）从区间随机抽取2n个数构成n个数对，，…其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为。
a） （b） （c） （d）
解析】c由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在。
如图所示的阴影中。
由几何概型概率计算公式知，∴，故选c．
11）已知，是双曲线e：的左，右焦点，点m在e上，与轴垂直，sin ,则e的离心率为。
a） （b） （c） （d）2
解析】a离心率，由正弦定理得．
故选a．12）已知函数满足，若函数与图像的交点。
为，，，则（ ）
a）0b）mc）2md）4m
解析】b由得关于对称，而也关于对称，对于每一组对称点，，故选b．
第ⅱ卷。本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．
13）的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若，则 ．
解析】 ，由正弦定理得：解得．
14），是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题：
如果，，，那么．
如果，，那么．
如果，，那么．
如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等．
解析】②③15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：
“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是
解析】由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，故甲（1，3），16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线， ．
解析】的切线为：（设切点横坐标为）
的切线为： 解得
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17）（本小题满分12分）
为等差数列的前n项和，且，．记，其中表示不超过x的最大整数，如，．
ⅰ）求，，；
ⅱ）求数列的前项和．
解析】⑴设的公差为，，，
记的前项和为，则。
当时，；当时，；
当时，；当时，．
18）（本小题满分12分）
某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；
ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，设续保人保费比基本保费高出为事件，解：设本年度所交保费为随机变量．
平均保费，平均保费与基本保费比值为．
19）（本小题满分12分）
如图，菱形abcd的对角线ac与bd交于点o，，，点e，f分别在ad，cd上，，ef交bd于点h.将△def沿ef折到△的位置。
）证明：平面abcd；
）求二面角的正弦值。
解析】⑴证明：∵，
四边形为菱形，．，
又，．又∵，面．
建立如图坐标系．，设面法向量，由得，取，．
同理可得面的法向量，．
20）（本小题满分12分）
已知椭圆e:的焦点在轴上，a是e的左顶点，斜率为的直线交e于a，m两点，点n在e上，ma⊥na.
）当，时，求△amn的面积；
）当时，求k的取值范围。
解析】 ⑴当时，椭圆e的方程为，a点坐标为，则直线am的方程为．
联立并整理得，
解得或，则。
因为，所以。
因为，所以，整理得，无实根，所以．
所以的面积为．
直线am的方程为，联立并整理得，
解得或，所以。
所以。因为。
所以，整理得，．
因为椭圆e的焦点在x轴，所以，即，整理得。
解得．21）（本小题满分12分）
i)讨论函数的单调性，并证明当时，
ii)证明：当时，函数有最小值。设的最小值为，求函数的值域。
解析】⑴证明：
∵当时， ∴在上单调递增。∴时，
由(1)知，当时，的值域为，只有一解．
使得， 当时，单调减；当时，单调增。
记，在时，，∴单调递增。
请考生在题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲。
如图，在正方形abcd，e，g分别在边da，dc上（不与端点重合），且de=dg，过d点作df⊥ce，垂足为f.
i) 证明：b，c，g，f四点共圆；
ii)若，e为da的中点，求四边形bcgf的面积。
解析】（ⅰ证明：∵
b，c，g，f四点共圆．
ⅱ）∵e为ad中点，在中，连接，．
23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
在直线坐标系xoy中，圆c的方程为．
i）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求c的极坐标方程；
ii）直线l的参数方程是（t为参数），l与c交于a、b两点，，求l的斜率．
解析】解：⑴整理圆的方程得，由可知圆的极坐标方程为．
记直线的斜率为，则直线的方程为，由垂径定理及点到直线距离公式知：，即，整理得，则．
24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲。
已知函数，m为不等式的解集。
i）求m；ii）证明：当a，时，．
解析】解：⑴当时，，若；
当时，恒成立；
当时，，若，．
综上可得，．
当时，有，即，
则，则，即，证毕．
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