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2024年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分．
参考公式：锥体的体积公式为，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
1． 已知集合m=，n=，则。
a． b.
c． d.
2.下列命题中的假命题是。
a． ,2x-1>0 b. ,cd. ,3、极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是。
a、圆、直线b、直线、圆。
c、圆、圆d、直线、直线。
4、在中， =90°ac=4，则等于。
a、-16b、-8c、8d、16
5、等于。a、 bcd、
6、在△abc中，角a，b，c所对的边长分别为a,b,c，若∠c=120°，,则。
a、a>b b、a7、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为。
a.10 b.11 c.12 d.15
8.用表示a，b两数中的最小值。若函数的图像关于直线x=对称，则t的值为。
a．-2 b．2 c．-1 d．1
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
9．已知一种材料的最佳入量在110g到210g之间。若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是g
10．如图1所示，过外一点p作一条直线与交于a,b两点。已知pa=2，点p到的切线上pt=4，则弦的长为 。
11．在区间上随机取一个数x，则的概率为
12．图2是求的值的程序框图，则正整数 ．
图213．图3中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则 ．
学+科+网z+x+x+k]
14．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则 ．
15．若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则 ，三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数．ⅰ）求函数的最大值；
ii）求函数的零点的集合。
17．（本小题满分12分）
图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图。
ⅰ）求直方图中x的值。
ii）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数x的分布列和数学期望。
18．（本小题满分12分）
如图5所示，在正方体e是棱的中点。
ⅰ）求直线be的平面所成的角的正弦值；
ii）在棱上是否存在一点f，使平面证明你的结论。
19.（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的a,b两点各建一个考察基地。视冰川面为平面形，以过a,b两点的直线为x轴，线段ab的的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线x=2的右侧，考察范围为到点b的距离不超过km区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到a,b两点的距离之和不超过km区域。
ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
ⅱ）如图6所示，设线段p1p2,p2p3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。
20.（本小题满分13分）
已知函数对任意的，恒有。
ⅰ）证明：当时，；
ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求m的最小值。
21．（本小题满分13分）
数列中，是函数的极小值点。
ⅰ）当a=0时，求通项；
ⅱ）是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
参***。一、选择题。
1-5 cbadd 6-8 abd
二、填空题。
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