2023年普通高等学校招生全国统一考试。
数学(理)（湖南卷）
一。选择题。
1)复数的值是。
a) 4 (b) –4 (c)4 (d)—4
2)如果双曲线=1上一点p到右焦点的距离等于，那么点p到右准线的距离是。
(ab) 13c)5d)
(3)设是函数的反函数，若，则f(a—b)的值为。
(a) 1b)2 (c)3d)
4) 把正方形abcd沿对角线ac折起，当以a、b、c、d四点为顶点的正棱锥体积最大时，直线bd和平面abc所成的角的大小为。
a 90 b 60 c 45 d 30
5)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点。公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①：在丙地区中有20个特大型销焦点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是。
（a）分层抽样，系统抽样法b）分层抽样法，简单随机抽样法。
（c）系统抽样法，分层抽样法 （d）简随机抽样法，分层抽样法。
（6）设函数若f(--4)=f(0),f(--2)=-2,则关于x的方程的解的个数为。
（a）1b）2c）3d）4
（7）设a＞0, b＞0，则以下不等式中不恒成立的是。
（a）≥4b）≥
cd）≥8）数列中，则=
（ab） （cd）
9）设集合≤0},那么点p(2,3的充要条件是。
(a)m＞—1 ,n＜5b) m＜--1 ,n＜5
(c) m＞—1 ,n＞5d) m＜--1 ,n＞5
10) 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为。
(a)56b) 52 (c)48d)40
12)设f(x)、g(x)分别是定义在r上的奇函数和偶函数，当x＜0时，＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是。
a) (3,0)
13)已知向量向量，则的最大值是。
14)同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量ξ=1表示结果中有正面向上， ξ0表示结果中没有正面向上，则e
15)若的展开式中的常数项为84,则n
16)设f是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点。
使组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为。
三。解答题： 本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17)(本小题满分12分)
已知求的值。
19) (本小题满分12分)
如图，在底面是菱形的四棱锥p—abcd中，
点e在pd上，且pe:ed= 2: 1.
(ⅰ)证明 pa⊥平面abcd;
ⅱ)求以ac为棱，eac与dac为面的二面角θ的大小：
ⅲ)在棱pc上是否存在一点f, 使bf∥平面aec?证明你的结论。
20)(本小题满分12分)
已知函数其中a≤0,e为自然对数的底数。
(ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；
ⅱ)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值。
21)(本小题满分12分)
如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点p(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于a、b两点，点q是点p关于原点的对称点。
(ⅰ)设点p分有向线段所成的比为λ，证明。
ⅱ)设直线ab的方程是x—2y+12=0,过a、b两点的圆c与抛物线在点a处有共同的切线，求圆c的方程。
22）（本小题满分14分）
如图，直线与相交于点p。直线与x轴交于点p1，过点p1作x轴的垂线交直线于点q1，过点q1作y轴的垂线交直线于点p2，过点p2作x轴的垂线交直线于点q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点p1，q1，p2，q2，…。点pn（n=1,2,…）的横坐标构成数列。
(ⅰ)证明。
ⅱ)求数列的通项公式；
ⅲ)比较与的大小。
2023年高考试题湖南卷数学答案。
一选择题。1. d b
二。填空题。
三。解答题：
17) (本小题满分12分)
已知求的值。
解： 由=
得又，所以。
于是。(19) (本小题满分12分)
(ⅰ)证明因为底面abcd是菱形， ∠abc=60,所以ab=ad=ac=a.
在△pab中，由。
知pa⊥ab.
同理， pa⊥ad,所以pa⊥平面abcd.
ⅱ)解：作eg∥pa交ad于g,由pa⊥平面abcd
知eg⊥平面abcd.
作gh⊥ac于h,连结eh,则eh⊥ac.
ehg为二面角θ的平面角。
又pe:ed=2:1
所以。从而。
ⅲ)解法一以a为坐标原点，直线ad、ap分别为y轴、z轴，过a点垂直平面pad的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图。由题设条件，相关各点的坐标分别为a(0,0,0),b(
d(0,a,0),p(0,0,a), e(0,
所以。设点f是棱pc上的点，其中0<λ<1,则。
令得。即。
解得。即时， 共面。
又bf平面aec,所以当f是棱pc的时，bf∥平面aec.
解法二当f是棱pc的中点时，bf∥平面aec.证明如下。
证法一取pe的中点m,连结fm,则fm∥ce. ①
由知e是md的中点。
连接bm、bd,设bdac=o，则o为bd的中点。
所以bm∥oe。 ②
由①、②知，平面bfm∥平面aec.
证法二。因为。
所以、、共面。
又bf平面aec,从而bf∥平面aec。
20）（本小题满分12分）
解 (ⅰ（）当a=0时，令=0, 得x=0.
若x>0. 则》0,从而f(x)在(0,+∞上单调递增；
若x<0,则<0,从而f(x)在(--0)上单调递减。
(当a<0时，令=0,得x(ax+2)=0,故x=0或。
若x<0,则<0,从而f(x)在(--0)上单调递减。
若0 若x> 则<0.从而f(x)在(+∞上单调递减。
ⅱ) 当a=0时， f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=1.
(当时， f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=.
当a≤-2时， f(x)在区间[0,1]上的最大值是。
21.解(ⅰ)依题意，可设直线ab的方程为，代入抛物线方程得。
设a、b两点的坐标分别是（x1,y1）、(x2,y2),则x1、x2是方程①的两根。
所以。由点p（0，m）分有向线段所成的比为，得， 即。
又点q是点p关于原点的以称点，故点q的坐标是（0，--m）,从而。
0，所以。(ⅱ)由得点a、b的坐标分别是（6，9）、（4，4）。
由得，所以抛物线在点a处切线的斜率为。
设圆c的方程是，则。
解之得 所以圆c的方程是，22.（本小题满分14分）
(ⅰ)证明设点的坐标是由已知条件得。
点的坐标分别是：
由在直线上，得。所以。即。
ⅱ)解由题设知又由（ⅰ）知。
所以数列是首项为x1—1 ,公比为的等比数列。
从而即，。ⅲ) 解由得点p的坐标为（1，1）。
所以。当，即或时，
而此时0所以故。
当0 即时，
而此时所以故。
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