2023年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的）
1．设命题，，则为（ ）
a．， b．，
c．， d．，
2．已知集合，，则（ ）
a． b．
c． d．
3．对一个容量为n的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，，，则（ ）
a． b．
c． d．
4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
a． b．
c． d．
5．在区间上随机选取一个数x，则的概率为（ ）
a． b． c． d．
6．若圆与圆外切，则（ ）
a．21 b．19 c．9 d．－11
7．执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的s属于（ ）
a． b．
c． d．
8．一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
a．1 b．2 c．3 d．4
9．若，则（ ）
a． b．
cd． 10．在平面直角坐标系中，o为原点，，，动点d满足，则的取值范围是（ ）
ab． c． d．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．复数（i为虚数单位）的实部等于 ．
12．在平面直角坐标系中，曲线（t为参数）的普通方程为 ．
13．若变量x，y满足约束条件，则的最大值为 ．
14．平面上一机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线的距离相等，若机器人接触不到过点且斜率为k的直线，则k的取值范围是。
15．若是偶函数，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和，．
ⅰ）求数列的通项公式：
ⅱ）设，求数列的前项和．
17．（本小题满分12分）
某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽机这两个小组往年研发新产品的结果如下：
其中分别表示甲组研发成功和失败：分别表示乙组研发成功和失败．
ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一件新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．
18．（本小题满分12分）
如图，已知二面角－mn－的大小为60°．菱形在面内，两点在棱上，，e是的中点，面，垂足为o．
ⅰ）证明：平面。
ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值．
19．（本小题满分13分）
如图，在平面四边形中，，，
ⅰ）求的值；
ⅱ）求的长．
20．（本小题满分13分）
如图，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．
ⅰ）求、的方程；
ⅱ）是否存在直线l，使得l与交于a，b两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论．
21．（本小题满分13分）
已知函数．ⅰ）求的单调区间；
ⅱ）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有．
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