2023年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学试题（文史类）
第ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的。
1. 设命题，则为。
a. b. c. d.
2. 已知集合，则。
abcd.
3. 对一个容量为n的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本是，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则。
abcd.
4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是。
abcd.
5. 在区间上随机选取一个数，则的概率为。
abcd.
6. 若圆与圆外切，则。
a. 21b. 19c. 9d.
7. 执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的s属于。
abcd.
8. 一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于。
a. 1b. 2c. 3d. 4
9. 若，则。
ab. cd.
10. 在平面直角坐标系中，o为原点，，动点d满足，则的。
取值范围是。
abcd.
第ⅱ卷（非选择题共100分）
2、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 复数（为虚数单位）的实部等于。
12. 在平面直角坐标系中，曲线为参数) 的普通方程为。
13. 若变量满足约束条件，则的最大值为。
14. 平面上一机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线的距离相等。若机器人接触不到过点。
且斜率为的直线，则的取值范围是。
15. 若是偶函数，则。
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16. (本小题满分12分)
已知数列的前项和。
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）设，求数列的前项和。
17. (本小题满分12分)
某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
其中分别表示甲组研发成功和失败；分别表示乙组研发成功和失败。
ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分。 试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率。
18. (本小题满分12分)
如图3，已知二面角的大小为。 菱形abcd在面内，a、b两点在棱mn上，是ab的中点，面，垂足为o.
（ⅰ）证明：平面ode；
（ⅱ）求异面直线bc与od所成角的余弦值。
19. (本小题满分13分)
如图4，在平面四边形abcd中，.
（ⅰ）若的值；
（ⅱ）求be的长。
20. (本小题满分13分)
如图5，o为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形。
ⅰ）求的方程；
ⅱ）是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论。
21. (本小题满分13分)
已知函数。ⅰ）求的单调区间；
ⅱ）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有。
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