2023年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（文史类）
一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．
1．复数等于。
a．1+i b． 1-i c． -1+i d．-1-i
2．下列命题中的假命题是。
ab． cd．
3．某商品销售量y（件）与销售**x（元/件）负相关，则其回归方程可能是。
ab． cd．
4．极坐标和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是。
a．直线、直线 b．直线、圆 c．圆、圆 d．圆、直线。
5．设抛物线上一点p到y轴的距离是4，则点p到该抛物线焦点的距离是。
a． 4b． 6
c． 8d．12
6．若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为。
a．300b．600 c．1200 d． 1500
7．在△abc中，角a，b，c所对的边长分别为a，b，c，若∠c=120°，c=a，则。
a．a＞bb．a＜b
c．a＝bd．a与b的大小关系不能确定。
8．函数y=ax2+ bx与y= （ab ≠0，| a |≠b |）在同一直角坐标系中的图像可能是。
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。
9．已知集合a=，b=，a∩b=，则m
10．已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间，若用0．618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是g
11．在区间[-1,2]上随即取一个数x，则x∈[0,1]的概率为。
12．图1是求实数x的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填。
13．图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则hcm
14．若不同两点p,q的坐标分别为（a，b），（3-b，3-a），则线段pq的垂直平分线l的斜率为圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线对称的圆的方程为。
15．若规定e=的子集为e的第k个子集，其中k= ，则。
（1）是e的第___个子集；
（2）e的第211个子集是___
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知函数。（i）求函数的最小正周期。
（ii）求函数的最大值及取最大值时x的集合。
17．（本小题满分12分）
为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校a,b,c的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）
（1）求x,y ;
（2）若从高校b、c抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校c的概率。
18．（本小题满分12分）
如图所示，在长方体中，ab=ad=1，aa1=2，m是棱cc1的中点。
（ⅰ）求异面直线a1m和c1d1所成的角的正切值；
（ⅱ）证明：平面abm⊥平面a1b1m
19．（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8km的a、b两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过a、b两点的直线为x轴，线段ab的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）.考察范围到a、b两点的距离之和不超过10km的区域。
（i）求考察区域边界曲线的方程：
（ii）如图4所示，设线段是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0．2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点a恰好在冰川边界线上？
20．（本小题满分13分）
给出下面的数表序列：
其中表n（n=1,2,3）有n行，第1行的n个数是1,3,5， 2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。
（i）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；
（ii）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为。
求和： 21．（本小题满分13分）
已知函数其中a<0,且a≠-1．
（ⅰ）讨论函数的单调性；
（ⅱ）设函数（e是自然数的底数）.是否存在a，使在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
参***。1—4 acad 5—8 bcad
9．3 10．161.8或138.2 11． 12．或。
2. 【解析】对于c选项x＝1时，，故选c
命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题。
10. 【答案】171.8或148.2
解析】根据0.618法，第一次试点加入量为。
或 210－（210－110）0.618＝148.2
命题意图】本题考察优选法的0.618法，属容易题。
16．解：（i）因为。
所以函数的最小正周期为。
（ii）由（i）知，当。
即时，取最大值。
因此函数取最大值时x的集合为。
17．解：（i）由题意可得，，所以。
（ii）记从高校b抽取的2人为，从高校c抽取的3人为，则从高校b，c抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有。
共10种。设选中的2人都来自高校c的事件为x，则x包含的基本事件有。
共3种，因此。
故选中的2人都来自高校c的概率为。
18．解：（i）如图，因为c1d1//b1a1，所以为异面直线a1m与c1d1所成的角。
因为平面bcc1b1，所以。
而故。即异面直线a1m和c1d1所成的角的正切值是。
（ii）由平面bcc1b1，平面bcc1b1，得。
由（i）知又所以。
从而 ②又再由①，②得平面a1b1m，而bm平面abm，因此。
平面abm⊥平面a1b1m.
19．解（i）设边界曲线上点p的坐标为，则由知，点p在以a，b为焦点，长轴长为2a=10的椭圆上，此时短半轴长。
所以考察区域边界曲线（如图）的方程为。
（ii）易知过点的直线方程为因此点a到直线p1p2的距离为、
设经过n年，点a恰好在冰川边界上，则利用等比例数列求和公式可得。
解得n=5，即经过5年，点a恰好在冰川边界线上。
20．解：表4为。
它的第1，2，3，4行中的数平均数分别是4，8，15，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列。
将这一结论推广到表，即。
表各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列。
简证如下（对考生不作要求）
首先，表的第1行1，3，5，…，2n-1是等差数列，其平均数为。
其次，若表n的第行是等差数列，则它的第行也是等差数列，由等差数列的性质知，表n的第k行中的数的平均数与第k+1行中的平均数分别是。
由此可知，表各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列。
（ii）表n的第1行是1，3，5，…，2n-1，其平均数是。
由（i）知，它的各行中的数的平均数从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列（从而它的第k行中的数的平均数是），于是，表n中最后一行的唯一一个数为。因此。故。
21．解（i）的定义域为。
（1）若。当。
当故分别在上单调递增，在（-a，1）上单调递减。
（2）若仿（1）可得分别在（0，1），上单调递增，在（1，-a）上单调递减。
（ii）存在a，使上为减函数。
事实上，设，则。
再设，则当上单调递减时，必在[a，0]上单调递减，所以。
由于，因此，所以，此时，显然有。
上为减函数，当且仅当上为减函数，上为减函数，且。
由（i）知，当上为减函数 ①
又 ②不难知道， 因。令。
而，于是。（1）当时，若；
若。因而上单调递增，在（-2，1）上单调递减。
（2）当a=-2时，在（-2，1）上单调递减。
综合（1）、（2）知，当时，上的最大值为。
所以③又对只有当a=-2时在x=-2取得，亦即只有当a=-2时在x=-2取得。
因此，当时，上为减函数，从而由①，②知，
综上所述，存在a，使上为减函数，且a的取值范围为[-3，-2].
2023年高考数学湖南卷 文科 答案版
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2023年高考文科数学试题 湖南卷
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