2023年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）含答案。
数学（文史类）
一． 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数等于。
a. 1+ib. 1-i c. -1+i d. -1-i
2. 下列命题中的假命题是。
ab. cd.
答案】c解析】对于c选项x＝1时，，故选c
3. 某商品销售量y（件）与销售**x（元/件）负相关，则其回归方程可能是。
ab. cd.
4. 极坐标和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是。
a. 直线、直线 b. 直线、圆 c. 圆、圆 d. 圆、直线。
d5．某地**召集5家企业的负责人开会，甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（b）
a．14 b. 16 c.20 d. 48
6．平面六面体abcd- 中，既与ab共面也与c共面的棱的条数为（c）
a．3 b. 4 c.5 d. 6
7．若函数y=f(x)导函数在区间［a,b］是增函数，则函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象可能是（a）
8. 设函数在内有定义，对于给定的正数k，定义函数。
取函数。当k=时，函数的单调递增区间为。
a b c dc）
二填空题：本大题共七小题，没小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
9 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12
10 若，则的最小值为。
11 在的展开式中，的系数为 6
12 一个总体分为两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已知b层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为 120
13 过双曲线c： 的一个焦点作圆的两条切线。
切点分别为若（o是坐标原点），则双曲线线c的离心率为 2
14 在锐角中，则的值等于 2 ，的取值范围。
为 15 如图2，两块斜边长相等的直角三角板在一起，若，则。
图2三解答题：每小题共6小题，共75分，解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤。
16 （每小题满分12分）
以知向量。1） 若//，求的值。
2） 若求的值。
解 （1） 因为，所以，于是。
故。tan=。
ii)由=知， +cos -2sin=5，所以。
1-2sin2+4=5.
从而-2sin2+2（1-cos2=4，即sin2+cos2 = 1，于是。
sin（2+）=
又由0《知， <2+<，所以2 +=或2-=
因此=，或=
17.（本小题满分12分）
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的。、、现在3名工人独立地从中任意一个项目参与建设要求：
i）他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
ii）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率。
解：记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件i=1，2，3.由题意知相互独立， 相互独立， 相互独立，, i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且p（）=p（）=p（）=
1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率。
p=3！p（）=6p（）p（）p（）
6x xx =
1i）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率。
p=1-p（）
1-p（）p（）p（）
18.（本小题满分12分）
如图3，在正三棱柱abc-, 中，ab=4, a=,点d是bc的中点，点e在ac上，且dee
i) 证明：平面平面；
ii) 求直线ad和平面所成角的正弦值。
又de平面abc，所以dea.
所以af平面，故直线ad和。
平面所成的角。
因为de所以deac而。
abc是边长为4的正三角形，于是ad=2 ae=4-ce=4- =3
又因为= 所以e===4
既直线ad和平面所成的角的正弦值为。
解法2 如图所示，设o是ac的中点，以o为原点建立空间直角坐标系，则相关各。
点的坐标分别是a(2,0,0,),2,0,),d(-1,),e(-1,0.0)
易知=（-3，，-0，-，0），=3，，0）
设n=（x，y，z）是平面de的一个法向量，则。
解得x=,y=0；故可取n=（,0,-3，）于是由此即知，直线ad和平面de所成的角是正弦为。
19．（本小题满分13分）
已知函数=++的导函数中图象关于直线x=2对称。
1） 求b的值；
2） 若在x=1处取得最小值，记此极小值为g(1)，求g(1)的定义域和值域。
解（1）=3+2bx+c；因为函数（x）的图象关于直线x=2对称，所以=2，于是b=--6
2)由（1）知， =6+cx；（x）=3-12x+c=3+c-12.
i)当c12时，（x）0，此时无极值。
ii）当c12时，（x）=0有两个互异实根·，不妨设＜，则＜2＜
当x＜时，（x）>0，在区间（，）内为增函数；
当＜x＜时，（x）＜0，在区间（，）内为**函数。
当＜时，（x）>0，在区间（+，内为增函数。
所以在x=处取极大值，在x=处取极小值。
因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以。
于是的定义域为。
由得。于是。
当时，所以函数在区间内是减函数，故的值域为。
20 （本小题满分13分）
已知椭圆c的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的圆边形是一个面积为8的正方形（记为q）
1） 求椭圆c的方程：
2） 设点p是椭圆c的左准线与轴的交点，过点p的直线l与椭圆c相交于两点，当线段mn的中点落在正方形q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围。
解 （1） 依题意，设椭圆c方程为焦距为，由题设条件知，所以。
故椭圆c的方程式为。
3） 椭圆c的左准线方程为所以点p的坐标，显然直线l的斜率存在，所以直线l的方程为。
如图，设点m，n的左边分别为线段mn的中点g，由得。
因为0，所以点g不可能在y轴的右边，有直线，方程分。
既亦即。21.（本小题满分13分）
对于数列若存在常数m＞0,对任意的，恒有
则称数列为b-数列。
i) 首项为1，公比为的等比数列是否为b-数列？请说明理由；
请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
则，于是。所以首项为1，公比为的等比数列是b-数列。
命题1：若数列｛｝是b-数列，则数列｛｝是b-数列。
此命题为假命题。
事实上设=1，nn，易知数列｛｝是b-数列，但=n，n
由n有的任意性知，数列｛｝不是b-数列。
命题2：若数列｛｝是b-数列，则数列｛｝不是b-数列。
此命题为真命题。事实上，因为数列｛｝是b-数列，所以存在正数m，对任意的nn，有。
m所以数列是数列。
注：按题中要求组成其它命题解答时，阐述解法）
③若数列是数列，则存在正数m，对任意的有。
因为。则有。
因此 故数列是数列。
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