2023年全国各省市高考文科、理科数学。
函数与导数大题。
1（本小题共13分）(2013北京。理)
设为曲线在点处的切线．
ⅰ）求的方程；
ⅱ）证明：除切点之外，曲线在直线的下方．
解：（i）,所以的斜率。
所以的方程为。
ii）证明：令。
则。在（0，1）上单调递减，在（1，+∞上单调递增，又。
时，，即。时，，即。
即除切点（1，0）之外，曲线c在直线的下方。
2．（13分）（2013北京。文）已知函数。
1)若曲线在点处与直线相切，求与的值；
2)若曲线与直线有两个不同交点，求的取值范围．
解：(1),因为曲线在点处与直线相切，所以故。
于是当时，，故单调递增．
当时，，故单调递减．
所以当时，取得最小值，故当时，曲线与直线有两个不同交点．故的取值范围是．
3．(2013广东。理)（14分）设函数(其中).
ⅰ) 当时，求函数的单调区间；(ⅱ当时，求函数在上的最大值。
解析】(ⅰ当时，
令，得，当变化时，的变化如下表：
右表可知，函数的递减区间为，递增区间为，.
(ⅱ)令，得，令，则，所以在上递增，所以，从而，所以。
所以当时，；当时，；
所以。令，则，令，则。
所以在上递减，而。
所以存在使得，且当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减。
因为，所以在上恒成立，当且仅当时取得“”.
综上，函数在上的最大值。
4．（本小题满分14分）(2013广东文)
设函数 ．1) 当时，求函数的单调区间；
2) 当时，求函数在上的最小值和最大值．
解析】：1)当时
在上单调递增。
2）当时，，其开口向上，对称轴 ，且过
i）当，即时，，在上单调递增，从而当时， 取得最小值 ,当时， 取得最大值。
ii）当，即时，令。
解得：,注意到，注：可用韦达定理判断，,从而；或者由对称结合图像判断)
的最小值，的最大值。
综上所述，当时，的最小值，最大值。
解法2（2）当时，对，都有，故。
故，而 ，所以 ，5．(2013大纲版。文)（12分）已知函数。
1)求当时，讨论的单调性；
1)若时，求的取值范围。
解：(1)求当时，
令或。当时， ,单调递增，当时， ,单调递减，当时， ,单调递增；
2)由，可解得，当时，所以函数在单调递增，于是当时，综上可得，的取值范围是。
6．（13分）（2013福建）已知函数。
1）当时，求曲线在点处的切线方程；
2）求函数的极值．
解：函数的定义域为，1）当时，因而，所以曲线在点处的切线方程为。
2）由知：当时，，函数为上的增函数，函数无极值；
当时，由，解得。
又当时，，当时，．
从而函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值．
综上，当时，函数无极值；
当时，函数在处取得极小值，无极大值．
7．（14分）（2013福建）已知函数(为自然对数的底数)
1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
2)求函数的极值；
3)当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值．
解：(1)由，得，又曲线在点处的切线平行于轴，(2) ，当时，，函数为上的增函数，函数无极值；
当时，由，解得。
又当时，，当时，．
在上单调递减，在上单调递增，从而函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值．
综上，当时，函数无极值；
当时，函数在处取得极小值，无极大值．
(3)当时，，令。
则直线与曲线没有公共点，等价于方程在上没有实数解．
假设，此时，又函数的图象连续不断，由零点存在定理可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故．
又时，，知方程在上没有实数解，所以的最大值为。
8．（13分）（2013安徽）设函数。
证明：1）对每个，存在唯一的，满足；
2）对于任意，由（1）中构成数列满足．
证明：（1）对每个，当时，由函数，可得。
故函数在上是增函数．求得，又。
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足．
2）对于任意，由（1）中构成数列，当时，由在上单调递增，可得 ．
故数列为递减数列，即对任意的
由于。用①减去②并移项，利用，可得。
综上可得，对于任意，由（1）中构成数列满足．
9. (本小题满分14分) (2013陕西。理)
已知函数。
(ⅰ)若直线与的反函数的图像相切， 求实数的值；
(ⅱ)设， 讨论曲线与曲线公共点的个数。
(ⅲ)设 , 比较与的大小， 并说明理由。
解析】(ⅰ的反函数。 设直线与相切与点 。所以。
ⅱ) 当时， 曲线与曲线的公共点个数即方程根的个数。
由，令。则在上单调递减，这时，在上单调递增，这时。
是的极小值即最小值。
所以对曲线与曲线公共点的个数，讨论如下：
当时，有个公共点；当，有个公共点；
当有个公共点；
ⅲ) 设。令，则。
的导函数。所以在上单调递增，且，因此在上单调递增，而。
所以在。因为当时，且。
所以当时，10. (本小题满分14分) (2013陕西。文)
已知函数。
(ⅰ)求的反函数的图象上图象上点处的切线方程；
(ⅱ)证明： 曲线与曲线有唯一公共点。
(ⅲ)设， 比较与的大小， 并说明理由。
解(ⅰ)ⅱ) 证明曲线与曲线有唯一公共点，过程如下。令则。
的导数且。因此，当时， 单调递减；
当时， 单调递增。
所以在上单调递增，最多有一个零点。
所以，曲线与曲线只有唯一公共点。(证毕）
ⅲ) 设。令。
则。的导函数。
所以在上单调递增，且，因此在上单调递增，而。
所以在。因为当时，且。
所以。11.（本小题满分14分）(2013湖北。理)
设为正整数，为正有理数。
i）求函数的最小值；
ii）证明：
iii）设记不小于的最小整数，例如。
令求的值。参考数据：）
解。(1)因为，令解得。
当时， ,所以在内是减函数。
当时， ,所以在内是增函数。
故函数在处取得最小值。
2)由(1),当时，有。
即且等号当且仅当时成立。
故当且时，有………
在①中，令，(这时且)得。
上式两边同乘得。
即。当时， 在①中，令，(这时且),类似可得。
且当时， ③式也成立。
综合②③得………
(3)在④中，令分别取81,82,83,…,125,得。
将以上各式相加，并整理得。
代入数据计算，可得，由的定义，得窗体底端。
12．（本小题满分13分）(2013湖北。文)
设，，已知函数。
ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
ⅱ）当时，称为、关于的加权平均数。
i）判断， ,是否成等比数列，并证明；
ii）、的几何平均数记为。 称为、的调和平均数，记为。 若，求的取值范围。
解：（ⅰ函数的定义域为，所以。
当时，，函数在，上单调递增；
当时，，函数在，上单调递减．
ⅱ）（i）计算得，成等比数列，ii）由（i）知，故由，得．
当时，函数在上单调递增．这时，即的取值范围为；
当时，函数在上单调递减。所以的取值范围为。
13. (2013江苏卷)（本小题满分16分）
设函数，，其中为实数。
1) 若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的范围；
2) 若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。
解：（1）,由题意：对恒成立。
即对恒成立。
在上有最小值。
时，恒成立，在无最值。
时，由题意，综上：的范围是：
2）在上是单调增函数。
对恒成立。即对恒成立。
令，则。则有的零点个数即为与图像交点的个数。
令则。易知在上单调递增，在上单调递减。
在时取到最大值。
当时，当时，图像如下。
所以由图可知：时，有1个零点。
时，有2个零点时，有1个零点。
综上所述：或时，有1个零点。
时，有2个零点。
14（本小题满分13分）(2013湖南。理)
已知，函数。
1） 记在区间上的最大值为，求的表达式。
2） 是否存在，使函数在区间内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若村子啊，求出的取值范围，若不存在，请说明理由。
解（1）当时，；当时，，因此，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
若，则在上单调递减，若，则在上单调递减，在上单调递增。所以。
而，故当时，；当当时，.
综上所述，2）由（1）知，当时，在上单调递减，故不满足要求。
当时，在上单调递减，在上单调递增，若存在。
使曲线在两点处的切线互相垂直，则，且，即亦即 （*
由得，故（*）成立等价于集合与集合的交集非空。
因为，所以当且仅当，即时，综上所述，存在使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且的取值范围是。
15．（13分）（2013湖南。文）已知函数。
ⅰ）求的单调区间；
ⅱ）证明：当时，．
解：（i）易知函数的定义域为．
当时，；当时，．∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
ii）当时，由于；
同理，当时，;
当时，不妨设．
由（i）可知：．
下面证明：，即证．
此不等式等价于。
令，则。当时，单调递减，即。
而。从而，.
由于在上单调递增，16（本小题满分13分）(2013山东。理)
设函数是自然对数的底数，.
1）求的单调区间，最大值；
2）讨论关于x的方程根的个数。
解：（1），令。
当时， ,单调递增；
当时， ,单调递减；
所以当时，函数取得最大值。
2）由（1）知，先增后减，即从负无穷增大到，然后递减到c，而函数是时由正无穷递减到，然后又逐渐增大。
故令得，所以当时，方程有两个根；
当时，方程有一两个根；
当时，方程有无两个根。
17(山东。文)(本小题满分12分)
已知函数。ⅰ)设，求的单调区间。
ⅱ) 设，且对于任意，。试比较与的大小。
解：（ⅰ由知。
又，故当时，若时，由得，恒成立，故函数的单调递减区间是；
若，令可得，即函数在上是减函数，在上是增函数。
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是。
当时，令。由于，故有。
显然有，故在区间上，导数小于0，函数是减函数；在区间上，导数大于0，函数是增函数。
综上，当时，函数的单调递减区间是；
当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是。
当，函数的单调递减区间是，单调递增区间是。
ii）由题意，函数在处取到最小值，由（1）知，是函数的唯一极小值点故。
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