2012高考文科试题解析分类汇编：导数。
1【2102高考北京文18】（本小题共13分）已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。
解：(1)（2）记当时，令，解得：，；
与在上的情况如下：
由此可知：当时，函数在区间上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值小于28.
因此，的取值范围是。
2.【2012高考江苏18】（16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。已知是实数，1和是函数的两个极值点．（1）求和的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数．
答案】解：（1）由，得。∵1和是函数的两个极值点，∴，解得。
2）∵ 由（1）得， ，解得。
当时，；当时，是的极值点。
当或时，，∴不是的极值点。 ∴的极值点是－2。（3）令，则。
先讨论关于的方程根的情况：
当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为i 和一2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。
当时，∵，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。
由（1）知。
当时， ，于是是单调增函数，从而。
此时在无实根。
当时．，于是是单调增函数。
又∵，，的图象不间断，在（1 , 2 ）内有唯一实根。
同理，在（一2 ，一i ）内有唯一实根。
当时，，于是是单调减两数。
又∵，，的图象不间断，在（一1，1 ）内有唯一实根。
因此，当时，有两个不同的根满足；当时。
有三个不同的根，满足。
现考虑函数的零点：
i ）当时，有两个根，满足。
而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。
11 ）当时，有三个不同的根，满足。
而有三个不同的根，故有9 个零点。
综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。
3.【2012高考天津文科20】（本小题满分14分）已知函数，x其中a>0.
i）求函数的单调区间；ii）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
iii）当a=1时，设函数在区间上的最大值为m（t），最小值为m（t）,记g(t)=m(t)-m(t),求函数g(t)在区间上的最小值。
解析】(ⅰ或，得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为。
ⅱ) 函数在内单调递增，在内单调递减。
原命题。iii）当时，在上单调递增，在上单调递减。当 当
得：函数在区间上的最小值为。
4.【2012高考广东文21】设，集合，，.
1）求集合（用区间表示）（2）求函数在内的极值点。
解析】（1）令， 当时，方程的两个根分别为，所以的解集为。
因为，所以。
当时，，则恒成立，所以，综上所述，当时， ；
当时， 。2），令，得或。
当时，由（1）知，因为，所以，所以随的变化情况如下表：
所以的极大值点为，没有极小值点。
当时，由（1）知，所以随的变化情况如下表：
所以的极大值点为，极小值点为。
综上所述，当时，有一个极大值点，没有极小值点；
当时，有一个极大值点，一个极小值点。
5.【2102高考福建文22】已知函数且在上的最大值为，（1）求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。
解答：（i）在上恒成立，且能取到等号。
在上恒成立，且能取到等号
在上单调递增。
ii）当时，在上单调递增。
在上有唯一零点。
②当时，当上单调递减。
存在唯一使。
得：在上单调递增，上单调递减得：时，时，，在上有唯一零点。
由①②得：函数在内有两个零点。
6.【2012高考新课标文21】（本小题满分12分）设函数f(x)= ex－ax－2
ⅰ)求f(x)的单调区间。
ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f(x)+x+1>0，求k的最大值。
7.【2012高考重庆文17】已知函数在处取得极值为。
1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值．
【解析】（ⅰ因故由于在点处取得极值。
故有即，化简得解得。
ⅱ）由（ⅰ）知 ，
令，得当时，故在上为增函数；
当时， 故在上为减函数。
当时，故在上为增函数。
由此可知在处取得极大值， 在处取得极小值由题设条件知得此时，因此上的最小值为。
8.【2012高考安徽文17】设定义在（0，+）上的函数（ⅰ）求的最小值；（ⅱ若曲线在点处的切线方程为，求的值。
解析】（）方法一），当且仅当时，的最小值为。
）由题意得：，
由得：。9.【2012高考辽宁文21】设，证明：(ⅰ当x﹥1时， ﹤
ⅱ)当时，
解析】(ⅰ法1)记=，则当＞1时，=，又∵，∴0，即。
法2）由均值不等式，当＞1时。
令，则，，∴即， ②
由①②得，当＞1时。
ⅱ)（法1）记，由(ⅰ)得，=＜令=，则当时，=
在（1,3）内单调递减，又，∴＜0，当1＜＜3时。
证法2）记=，则当当1＜＜3时，＜
在（1,3）内单调递减，又，∴＜0，当1＜＜3时。
10.【2012高考浙江文21】（本题满分15分）已知a∈r，函数（1）求f(x)的单调区间。
2）证明：当0≤x≤1时，f(x)+＞0.
解析】（1）由题意得，当时，恒成立，此时的单调递增区间为。
当时，，此时函数的单调递增区间为。
2)由于，当时，.
当时，.设，则。
则有。所以。
当时，.故。
11.【2012高考全国文21】已知函数（ⅰ）讨论的单调性；
ⅱ）设有两个极值点，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上，求的值。
解：（1）依题意可得。
当即时，恒成立，故，所以函数在上单调递增；
当即时，有两个相异实根且。
故由或，此时单调递增。
由，此时此时单调递增递减。
综上可知当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在单调递增，在单调递减。
2）由题设知，为方程的两个根，故有。
因此。同理。
因此直线的方程为。
设与轴的交点为，得。
而。由题设知，点在曲线的上，故，解得或或。
所以所求的值为或或。
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