2023年全国各省市高考文科、理科数学。
函数与导数大题。
1（本小题共13分）(2013北京。理)
设为曲线在点处的切线．
ⅰ）求的方程；
ⅱ）证明：除切点之外，曲线在直线的下方．
解：（i）,所以的斜率。
所以的方程为。
ii）证明：令。
则。在（0，1）上单调递减，在（1，+∞上单调递增，又。
时，，即。时，，即。
即除切点（1，0）之外，曲线c在直线的下方。
2．（13分）（2013北京。文）已知函数。
1)若曲线在点处与直线相切，求与的值；
2)若曲线与直线有两个不同交点，求的取值范围．
解：(1),因为曲线在点处与直线相切，所以故。
于是当时，，故单调递增．
当时，，故单调递减．
所以当时，取得最小值，故当时，曲线与直线有两个不同交点．故的取值范围是．
3．(2013广东。理)（14分）设函数(其中).
ⅰ) 当时，求函数的单调区间；(ⅱ当时，求函数在上的最大值。
解析】(ⅰ当时，
令，得，当变化时，的变化如下表：
右表可知，函数的递减区间为，递增区间为，.
(ⅱ)令，得，令，则，所以在上递增，所以，从而，所以。
所以当时，；当时，；
所以。令，则，令，则。
所以在上递减，而。
所以存在使得，且当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减。
因为，所以在上恒成立，当且仅当时取得“”.
综上，函数在上的最大值。
4．（本小题满分14分）(2013广东文)
设函数．1) 当时，求函数的单调区间；
2) 当时，求函数在上的最小值和最大值．
解析】： 1)当时
在上单调递增。
2）当时，，其开口向上，对称轴，且过
i）当，即时，，在上单调递增，从而当时， 取得最小值，当时， 取得最大值。
ii）当，即时，令。
解得：,注意到，注：可用韦达定理判断，,从而；或者由对称结合图像判断)
的最小值，的最大值。
综上所述，当时，的最小值，最大值。
解法2（2）当时，对，都有，故。
故，而， 所以，
5．(2013大纲版。文)（12分）已知函数。
1)求当时，讨论的单调性；
1)若时， ,求的取值范围。
解：(1)求当时，
令或。当时， ,单调递增，当时， ,单调递减，当时， ,单调递增；
2)由，可解得，当时，所以函数在单调递增，于是当时，综上可得，的取值范围是。
6．（13分）（2013福建）已知函数。
1）当时，求曲线在点处的切线方程；
2）求函数的极值．
解：函数的定义域为，
1）当时，因而，所以曲线在点处的切线方程为。
2）由知：当时，，函数为上的增函数，函数无极值；
当时，由，解得。
又当时，，当时，．
从而函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值．
综上，当时，函数无极值；
当时，函数在处取得极小值，无极大值．
7．（14分）（2013福建）已知函数(为自然对数的底数)
1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
2)求函数的极值；
3)当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值．
解：(1)由，得，又曲线在点处的切线平行于轴，
(2)，当时，，函数为上的增函数，函数无极值；
当时，由，解得。
又当时，，当时，．
在上单调递减，在上单调递增，从而函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值．
综上，当时，函数无极值；
当时，函数在处取得极小值，无极大值．
(3)当时，，令。
则直线与曲线没有公共点，等价于方程在上没有实数解．
假设，此时，又函数的图象连续不断，由零点存在定理可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故．
又时，，知方程在上没有实数解，所以的最大值为。
8．（13分）（2013安徽）设函数。
证明：1）对每个，存在唯一的，满足；
2）对于任意，由（1）中构成数列满足．
证明：（1）对每个，当时，由函数，可得。
故函数在上是增函数．求得，又。
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足．
2）对于任意，由（1）中构成数列，当时，
由在上单调递增，可得．
故数列为递减数列，即对任意的
由于。用①减去②并移项，利用，可得。
综上可得，对于任意，由（1）中构成数列满足．
9. (本小题满分14分) (2013陕西。理)
已知函数。
(ⅰ)若直线与的反函数的图像相切， 求实数的值；
(ⅱ)设， 讨论曲线与曲线公共点的个数。
(ⅲ)设， 比较与的大小， 并说明理由。
解析】(ⅰ的反函数。 设直线与相切与点。所以。
ⅱ) 当时， 曲线与曲线的公共点个数即方程根的个数。
由，令。则在上单调递减，这时，在上单调递增，这时。
是的极小值即最小值。
所以对曲线与曲线公共点的个数，讨论如下：
当时，有个公共点；当，有个公共点；
当有个公共点；
ⅲ) 设。令，则。
的导函数。所以在上单调递增，且，因此在上单调递增，而。
所以在。因为当时，且。
所以当时，
10. (本小题满分14分) (2013陕西。文)
已知函数。
(ⅰ)求的反函数的图象上图象上点处的切线方程；
(ⅱ)证明： 曲线与曲线有唯一公共点。
(ⅲ)设， 比较与的大小， 并说明理由。
解(ⅰ)ⅱ) 证明曲线与曲线有唯一公共点，过程如下。令则。
的导数且。因此，当时，单调递减；
当时，单调递增。
所以在上单调递增，最多有一个零点。
所以，曲线与曲线只有唯一公共点。(证毕）
ⅲ) 设。令。
则。的导函数。
所以在上单调递增，且，因此在上单调递增，而。
所以在。因为当时，且。
所以。11.（本小题满分14分）(2013湖北。理)
设为正整数，为正有理数。
i）求函数的最小值；
）证明： ）设记不小于的最小整数，例如。
令求的值。参考数据：）
解。(1)因为，令解得。
当时， ,所以在内是减函数。
当时， ,所以在内是增函数。
故函数在处取得最小值。
2)由(1),当时，有。
即且等号当且仅当时成立。
故当且时，有………
在①中，令，(这时且)得。
上式两边同乘得。
即。当时， 在①中，令，(这时且),类似可得。
且当时， ③式也成立。
综合②③得………
(3)在④中，令分别取81,82,83,…,125,得。
将以上各式相加，并整理得。
代入数据计算，可得，由的定义，得窗体底端。
12．（本小题满分13分）(2013湖北。文)
设，，已知函数。
ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
ⅱ）当时，称为、关于的加权平均数。
i）判断， ,是否成等比数列，并证明；
ii）、的几何平均数记为。 称为、的调和平均数，记为。 若，求的取值范围。
解：（ⅰ函数的定义域为，所以。
当时，，函数在，上单调递增；
当时，，函数在，上单调递减．
ⅱ）（i）计算得，
成等比数列，ii）由（i）知，故由，得．
当时，函数在上单调递增．这时，即的取值范围为；
当时，函数在上单调递减。所以的取值范围为。
13. (2013江苏卷)（本小题满分16分）
设函数，，其中为实数。
1) 若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的范围；
2) 若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。
解：（1）,由题意：对恒成立。
即对恒成立。
在上有最小值。
时，恒成立，在无最值。
时，由题意，综上：的范围是：
2）在上是单调增函数。
对恒成立。即对恒成立。
令，则。则有的零点个数即为与图像交点的个数。
令则。易知在上单调递增，在上单调递减。
在时取到最大值。
当时，当时，图像如下。
所以由图可知：时，有1个零点。
时，有2个零点时，有1个零点。
综上所述：或时，有1个零点。
时，有2个零点。
14（本小题满分13分）(2013湖南。理)
已知，函数。
1） 记在区间上的最大值为，求的表达式。
2） 是否存在，使函数在区间内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若村子啊，求出的取值范围，若不存在，请说明理由。
解（1）当时，；当时，，因此，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
若，则在上单调递减，若，则在上单调递减，在上单调递增。所以。
而，故当时，；当当时，.
综上所述，2）由（1）知，当时，在上单调递减，故不满足要求。
当时，在上单调递减，在上单调递增，若存在。
使曲线在两点处的切线互相垂直，则，且，即亦即 （*
由得，故（*）成立等价于集合与集合的交集非空。
因为，所以当且仅当，即时，综上所述，存在使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且的取值范围是。
15．（13分）（2013湖南。文）已知函数。
ⅰ）求的单调区间；
ⅱ）证明：当时，．
解：（i）易知函数的定义域为．
当时，；当时，．∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
ii）当时，由于；
同理，当时，;
当时，不妨设．
由（i）可知：．
下面证明：，即证．
此不等式等价于。
令，则。当时，单调递减， 即。而。
从而，.由于在上单调递增，16（本小题满分13分）(2013山东。理)
设函数是自然对数的底数，.
1）求的单调区间，最大值；
2）讨论关于x的方程根的个数。
解：（1），令。
当时， ,单调递增；
当时， ,单调递减；
所以当时，函数取得最大值。
2）由（1）知，先增后减，即从负无穷增大到，然后递减到c，而函数是时由正无穷递减到，然后又逐渐增大。
故令得，所以当时，方程有两个根；
当时，方程有一两个根；
当时，方程有无两个根。
17(山东。文)(本小题满分12分)
已知函数。ⅰ)设，求的单调区间。
ⅱ) 设，且对于任意，。试比较与的大小。
解：（ⅰ由知。
又，故当时，
若时，由得，恒成立，故函数的单调递减区间是；
若，令可得，即函数在上是减函数，在上是增函数。
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是。
当时，令。由于，故有。
显然有，故在区间上，导数小于0，函数是减函数；在区间上，导数大于0，函数是增函数。
综上，当时，函数的单调递减区间是；
当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是。
当，函数的单调递减区间是，单调递增区间是。
ii）由题意，函数在处取到最小值，由（1）知，是函数的唯一极小值点故。
整理得。
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