2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学。
一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）
1. 不等式的解集是。
2. 若复数z12i（i为虚数单位），则。
3. 动点p到点f（2,0）的距离与它到直线x20的距离相等，则点p的轨迹方程为___
4. 行列式的值是。
5. 圆c:x2y22x4y40的圆心到直线3x4y40的距离d
6. 随机变量的概率分布由下表给出：则该随机变量的均值是。
7. 2023年上海世博会园区每天9:00开园，20:
00停止入园。 在右边的框图中，s表示上海世博会官方**在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入。
8. 对于不等于1的正数a，函数f（x）loga（x3）的反函数的图像都经过点p，则点p的坐标为。
9. 从一副混合后的扑克牌（52张）中，随机抽取1张，事件a为“抽得红桃k”，事件b为“抽得黑桃”，则概率结果用最简分数表示）.
10. 在n行n列矩阵中，记位于第i行第j列的数为 aij（i,j1,2,··n）. 当n9时，a11a22a33···a99
11. 将直线l1：nxyn0、l2：xnyn0（nn*）、x轴、y轴围成的封闭区域的面积记为sn，则。
12. 如图所示，在边长为4的正方形纸片abcd中，ac与bd相交于点o，剪去aob，将剩余部分沿oc、od折叠，使oa、ob重合，则以a（b）、c、d、o为顶点的四面体的体积是。
13. 如图所示，直线与双曲线的渐近线交于、两点，记，，任取双曲线上的点p，若，则a、b满足的一个等式是。
14. 从集合的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
1） 都要选出；（2）对选出的任意两个子集a和b，必有或。 那么，共有种不同的选择。
二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）
15. “kz）”是“tanx1”成立的（ ）
a. 充分不必要条件 b. 必要不充分条件。
c. 充要条件 d. 既不充分也不必要条件。
16. 直线l的参数方程是，则l的方向向量可以是 （
a. （1,2） b. （2,1） c. （2,1） d. （1,2）
17. 若x0是方程的解，则x0属于区间（ ）
a. b. c. d.
18. 某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是、、，则此人将（ ）
a. 不能作出满足要求的三角形 b. 作出一个锐角三角形。
c. 作出一个直角三角形 d. 作出一个钝角三角形。
三、解答题（本大题满分74分）
19. （本题满分12分）已知，化简：.
20. （本题满分13分）第1小题满分5分，第2小题满分8分。
已知数列的前n项和为sn，且snn5an85,nn*.
1） 证明：是等比数列；
2） 求数列的通项公式，并指出n为何值时，sn取得最小值，并说明理由。
20. （本题满分14分）第1小题满分5分，第2小题满分8分。
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9. 6米铁丝。 骨架将圆柱底面8等分。 再用s平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
1）当圆柱底面半径r取何值时，s取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；
2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯。 当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯a1b3、a3b5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
22. （满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。
若实数x、y、m满足|xm|﹥|ym|，则称x比y远离m.
1）若x21比1远离0，求x的取值范围；
2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3b3比a2bab2远离；
3）已知函数f（x）的定义域。 任取xd，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值。 写出函数f（x）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）
23. （本题满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分。
已知椭圆的方程为，点p的坐标为（a,b）.
1）若直角坐标平面上的点m、a（0,b）、b（a,0）满足，求点m的坐标；
2） 设直线l1:yk1xp交椭圆γ于c、d两点，交直线l2:yk2x于点e. 若，证明：e为cd的中点；
3）对于椭圆γ上的点q（acos ,bsin ）（0< <如果椭圆γ上存在不同的两点p1、p2使，写出求作点p1、p2的步骤，并求出使p1、p2存在的的取值范围。
参***。一、填空题。
1. （4,2）； 2. 62i； 3. y28x； 4. 0； 5. 3； 6. 8. 2；
7. s←sa； 8. （0,2）； 9. ；10. 45； 11. 1； 12. ；
13. 4ab1； 14. 36.
二、选择题。
15. a16. c17. d； 18. d.
三、解答题。
19. 原式lg（sinxcosx）lg（cosxsinx）lg（sinxcosx）20.
20. （1） 当n1时，a114；当n≥2时，ansnsn15an5an11，所以。
又a1115≠0，所以数列是等比数列；
2） 由（1）知：，得，从而（nn*）
解不等式sn同理可得，当n≤15时，数列单调递减；故当n15时，sn取得最小值。
21. （1） 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l1. 22r（0（2） 当r0.
3时，l0. 6，建立空间直角坐标系，可得，设向量与的夹角为，则，所以a1b3、a3b5所在异面直线所成角的大小为。
2） 对任意两个不相等的正数a、b，有，因为，所以，即a3b3比a2bab2远离；
3） ，性质：1f（x）是偶函数，图像关于y轴对称，2f（x）是周期函数，最小正周期，3函数f（x）在区间单调递增，在区间单调递减，kz，4函数f（x）的值域为。
2） 由方程组，消y得方程，因为直线交椭圆于、两点，所以》0，即，设c（x1,y1）、d（x2,y2），cd中点坐标为（x0,y0），则，由方程组，消y得方程（k2k1）xp，又因为，所以，故e为cd的中点；
3） 求作点p1、p2的步骤：1求出pq的中点，2求出直线oe的斜率，3由知e为cd的中点，根据（2）可得cd的斜率，4从而得直线cd的方程：，5将直线cd与椭圆γ的方程联立，方程组的解即为点p1、p2的坐标。
欲使p1、p2存在，必须点e在椭圆内，所以，化简得，又0< <即，所以，故的取值范围是。
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