2024年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试题（理工农医类）
第ⅰ卷(选择题共50分)
一、填空题（本大题共有14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1. 函数的最（看不清楚。
2. 若复数，其中是虚数单位，则。
3. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为。
4. 设若，则的取值范围是。
5. 若实数满足，则的最小值为。
6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为结果用反三角函数值表示）
7. 设等比数列的公比为。若，则。
8. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于。
9. 若，则满足的的取值范围是。
10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率
是结果用最简分数表示）
11. 已知互异的复数满足，集合，则。
12. 设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则。
13. 某游戏的得分为，随机变量表示小白玩该游戏的得分，若，则小白得5分的概率至少为。
14. 已知曲线，直线。若对于点，存在上的点和上的使得（不清晰），则的取值范围为。
2、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15. 设，则是且的（ ）
(a) 充分条件b) 必要条件。
(c) 充分必要条件d)既非充分又非必要条件。
16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余八个点，则（不清。
晰） 的不同值得个数为（ ）
(a) 1b) 2c) 4d) 8
17. 已知与是直线（为常数）上。
两个不同的点，则关于和的方程组的解的情。
况是（ ）(a) 无论如何，总是无解b) 无论如何，总有唯一解。
(c) 存在，使之恰有两解d) 存在，使之有无穷多解。
18. 设若是的最小值，则的取值范围为（ ）
(a) [1,2b) [1,0c) [1,2d )[0,2]
三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
19.(本题满分12分)
底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积。
20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
设常数，函数。
(1) 若，求函数的反函数；
(2) 根据a的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由。
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
如图，某公司要在a、b两地连线上的定点c处建造广告牌cd,其中d为顶端，ac长35米，cb长80米，设点a、b
在同一水平面上，从a和b看d的仰角分别为和。
1) 设计中cd是铅垂方向，若要求，问cd的长至多为多少。
（结果精确到0.01米）？
2) 施工完成后，cd与铅垂方向有偏差，现在实测得，求cd的长（结果精确到0.01米）.
22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
在平面直角坐标系中，对于直线和点。
记，若，则称点，被直线分隔，若曲线c与直线没有公共点，且。
曲线c上存在点，被直线分隔，则称直线为曲线c的一条分隔线。
(1) 求证：点被直线分隔；
(2) 若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
(3) 动点到点的距离与到轴的距离之积1，设点的轨迹为曲线，求证：通过原点的直线中，有且仅。
有一条直线是的分隔线。
23.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分。
已知数列满足。
(1) 若，求的取值范围；
(2) 设是公比为的等比数列，，若，，求的取值范围；
(3) 若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数。
列的公差。第ⅱ卷（非选择题共100分）
2、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置。
11. 的展开式中的系数等于8，则实数。
12. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于___
13. 已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为。
14. 数列的通项公式，前n项和为，则。
15. 对于实数a和b，定义运算“”：设，且关于x的方程恰有三个互不相等的实数根则的取值范围是。
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16. (本小题满分13分)
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关。 某轿车制造厂生产。
甲、 乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
将频率视为概率，解答下列各题：
（ⅰ）该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
（ⅱ）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求的分布列；
（ⅲ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由。
17. (本小题满分13分)
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
（ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（ⅱ）根据（ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。
18. (本小题满分13分)
如图，在长方体中， e为cd的中点。
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）在棱上是否存在一点p，使得平面？若存在，求ap的长；若不存在，说明理由；
（ⅲ）若二面角的大小为求ab的长。
19. (本小题满分13分)
如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率过的直线交椭圆于a、b两点，且的周长为8.
ⅰ）求椭圆e的方程；
ⅱ）设动直线与椭圆e有且只有一个公共点p，且与直线相交于点q.
试**：在坐标平面内是否存在定点m，使得以pq为直径的圆恒过点m ？
若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由。
20. (本小题满分13分)
已知函数。ⅰ）若曲线在点处的切线平行于x轴，求函数的单调区间；
ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线上存在唯一的点p，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点p.
21. 本小题设有(1)、(2)、(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。
(1). 本小题满分7分) 选修4-2：矩阵与变换。
设曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为。
（ⅰ）求实数a，b的值； （求的逆矩阵。
(2).(本小题满分7分) 选修4-4：坐标系与参数方程。
在直角坐标系中，以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l上两点m，n的坐标。
分别为，圆c的参数方程为（为参数）.
（ⅰ）设p为线段mn的中点，求直线op的平面直角坐标方程；
（ⅱ）判断直线l与圆c的位置关系。
(3).(本小题满分7分) 选修4-5：不等式选讲。
已知函数，且的解集为。
（ⅰ）求m的值；
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