2024年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
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第ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题。
1.已知集合，则集合为( )
a. b. c. d.
答案：c解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。依题，∴，
2.等于( )
a. b. c. d.
答案：b解析：本小题主要考查对数列极限的求解。依题。
3.圆与直线没有公共点的充要条件是( )
a. b.
c. d.
答案：c解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系。依题圆与直线没有公共点。
4.复数的虚部是( )
a. b. c. d.
答案：b解析：本小题主要考查复数的相关运算及虚部概念。依题： ∴虚部为。
5.已知是平面上的三个点，直线上有一点，满足，则等于( )
a. b. c. d.
答案：a解析：本小题主要考查平面向量的基本定理。
依题∴6.设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围是，则点横坐标的取值范围是( )
a. b. c. d.
答案：a解析：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。
依题设切点的横坐标为，且（为点p处切线的倾斜角），又∵，∴7.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
a. b. c. d.
答案：c解析：本小题主要考查等可能事件概率求解问题。依题要使取出的2张卡片上的数字之和为奇数，则取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率。
8.将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则等于( )
a. b. c. d.
答案：a解析：本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。依题由函数的图象得到函数的图象，需将函数的图象向左平移1个单位，向下平移1个单位；故。
9.生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲乙丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲丙两工人中安排1人，则不同的安排方案有( )
a.24种 b.36种 c.48种 d.72种。
答案：b解析：本小题主要考查排列组合知识。
依题若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案共有种；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、丙二人之一来完成，故完成方案共有种；∴则不同的安排方案共有种。
10.已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
a. b. c. d.
答案：a解析：本小题主要考查抛物线的定**题。依题设在抛物线准线的投影为，抛物线的焦点为，则，依抛物线的定义知到该抛物线准线的距离为，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和。
11.在正方体中，分别为棱的中点，则在空间中与三条直线都相交的直线( )
a.不存在 b.有且只有两条 c.有且只有三条 d.有无数条。
答案：d解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空间想象能力。
在ef上任意取一点m,直线与m确定一个平面，这个平面与cd有且仅有1个交点n, 当m取不同的位置就确定不同的平面，从而与cd有不同的交点n,而直线mn与这3条异面直线都有交点的。如右图：
12.设是连续的偶函数，且当时是单调函数，则满足的所有之和为( )
a. b. c. d.
答案：c解析：本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。依题当满足时，即时，得，此时又是连续的偶函数，∴，另一种情形是，即，得，∴∴满足的所有之和为。
第ⅰ卷（选择题共60分）
二、填空题。
13.函数的反函数是。
答案： 解析：本小题主要考查求反函数基本知识。求解过程要注意依据函数的定义域进行分段求解以及反函数的定义域问题。
14.在体积为的球的表面上有三点，两点的球面距离为，则球心到平面的距离为。
答案： 解析：本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离。
设球的半径为，则，∴设、两点对球心张角为，则，∴,为所在平面的小圆的直径，∴,设所在平面的小圆圆心为，则球心到平面abc的距离为。
15.已知的展开式中没有常数项， ,则___
答案：5解析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题对中，只有时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与、乘积为常数的项。
16.已知，且在区间有最小值，无最大值，则。
答案： 解析：本小题主要针对考查三角函数图像对称性及周期性。依题且在区间有最小值，无最大值，∴区间为的一个半周期的子区间，且知的图像关于对称，∴,取得。
三、解答题。
17.在中，内角对边的边长分别是。已知。
若的面积等于，求；
若，求的面积。
说明：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．
解析：（ⅰ由余弦定理及已知条件得，又因为的面积等于，所以，得． 4分。
联立方程组解得，． 6分。
ⅱ）由题意得，即， 8分。
当时，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，．
所以的面积． 12分。
18.某批发市场对某种商品的周销售量(单位：吨)进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：
根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和(单位：千元),若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望。
说明：本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
解析：（ⅰ周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． 3分。
ⅱ）的可能值为8，10，12，14，16，且。
p（=8）=0.22=0.04，p（=10）=2×0.
2×0.5=0.2，p（=12）=0.
52+2×0.2×0.3=0.
37，p（=14）=2×0.5×0.3=0.
3，p（=16）=0.32=0.09．
的分布列为。
9分。8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元） 12分。
19.如图，在棱长为1的正方体中， ,截面，截面。
证明：平面和平面互相垂直；
证明：截面和截面面积之和是。
定值，并求出这个值；
若与平面所成的角为，求。
与平面所成角的正弦值。
说明：本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。满分12分．
解法一：ⅰ）证明：在正方体中，，，又由已知可得，所以，所以平面．
所以平面和平面互相垂直． 4分。
ⅱ）证明：由（ⅰ）知。
又截面pqef和截面pqgh都是矩形，且pq=1，所以截面pqef和截面pqgh面积之和是。
是定值． 8分。
iii）解：连结bc′交eq于点m．
因为，所以平面和平面pqgh互相平行，因此与平面pqgh所成角与与平面所成角相等．
与（ⅰ）同理可证eq⊥平面pqgh，可知em⊥平面，因此em与的比值就是所求的正弦值．
设交pf于点n，连结en，由知。
因为⊥平面pqef，又已知与平面pqef成角，所以，即，解得，可知e为bc中点．
所以em=，又，故与平面pqch所成角的正弦值为． 12分。
解法二：以d为原点，射线da，dc，dd′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系d－xyz由已知得，故，，
ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得。
因为，所以是平面pqef的法向量．
因为，所以是平面pqgh的法向量．
因为，所以，所以平面pqef和平面pqgh互相垂直． 4分。
ⅱ）证明：因为，所以，又，所以pqef为矩形，同理pqgh为矩形．
在所建立的坐标系中可求得，所以，又，所以截面pqef和截面pqgh面积之和为，是定值． 8分。
ⅲ）解：由已知得与成角，又可得，即，解得．
所以，又，所以与平面pqgh所成角的正弦值为。
12分。20.在直角坐标系中，点到两点的距离之和为4,设点的轨迹为，直线与交于两点。
写出的方程；
若，求的值；
若点在第一象限，证明：当时，恒有。
说明：本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．
解析：ⅰ）设p（x，y），由椭圆定义可知，点p的轨迹c是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线c的方程为． 3分。
ⅱ）设，其坐标满足。
消去y并整理得，故． 5分。
若，即．而，于是，化简得，所以． 8分。
因为a在第一象限，故．由知，从而．又，故，即在题设条件下，恒有． 12分。
21.在数列中， ,且成等差数列，成等比数列。
求及，由此猜测的通项公式，并证明你的结论；
证明：.说明：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．满分12分．
解析：ⅰ）由条件得。
由此可得。 2分。
猜测． 4分。
用数学归纳法证明：
当n=1时，由上可得结论成立．
假设当n=k时，结论成立，即。
那么当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②，可知对一切正整数都成立． 7分。
n≥2时，由（ⅰ）知． 9分。
故。综上，原不等式成立． 12分。
22.设函数。
求的单调区间和极值；
是否存在实数，使得关于的不等式的解集为？若存在，求的取值范围；若不存在，试说明理由。
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