2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学。
第i卷。一、选择墨：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1）已知a，b均为集合u=的子集，且a∩b=,b∩a=,则a=（
a） （b） （c） （d）
2）设a,b为实数，若复数，则（ ）
a）（b） （c） （d）
3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）
abcd）4）如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m，满足n≥m，那么输出的p等于（ ）
a） （bcd）
5）设》0,函数y=sin（x+）+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（ ）
abcd）3
6）设是由正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则（ ）
a） （bcd）
7）设抛物线y2=8x的焦点为f，准线为l,p为抛物线上一点，pa⊥l,a为垂足．如果直线af的斜率为，那么|pf|=（
a） （b）8c） （d） 16
8）平面上o,a,b三点不共线，设，则△oab的面积等于（ ）
ab）cd）
9）设双曲线的—个焦点为f；虚轴的—个端点为b，如果直线fb与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
a） （bc） （d）
1o）已知点p在曲线y=上，a为曲线在点p处的切线的倾斜角，则a的取值范围是（ ）
a）[0,） b） （c） （d）
11）已知a>0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（ ）
a） （b）
c） （d）
12）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（ ）
a）（0b）（1,）
cd）（0,）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13）的展开式中的常数项为。
14）已知且，则的取值范围是___答案用区间表示）
15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为___
16）已知数列满足则的最小值为。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17）（本小题满分12分）
在△abc中，a, b, c分别为内角a, b, c的对边，且。
ⅰ）求a的大小；
ⅱ）求的最大值。
18）（本小题满分12分）
为了比较注射a, b两种药物后产生的**疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物a，另一组注射药物b。
ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；
ⅱ）下表1和表2分别是注射药物a和b后的试验结果。（疱疹面积单位：mm2）表1：注射药物a后**疱疹面积的频数分布表。
表2：注射药物b后**疱疹面积的频数分布表。
ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小：
ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物a后的疱疹面积与注射药物b后的疱疹面积有差异”.
表3： 附：
19）（本小题满分12分）
已知三棱锥p－abc中，pa⊥abc，ab⊥ac，pa=ac=ab，n为ab上一点，ab=4an,m,s分别为pb,bc的中点。
ⅰ）证明：cm⊥sn；
ⅱ）求sn与平面cmn所成角的大小。
20）（本小题满分12分）
设椭圆c：的左焦点为f，过点f的直线与椭圆c相交于a，b两点，直线l的倾斜角为60o,.
）求椭圆c的离心率；
）如果|ab|=，求椭圆c的方程。
21）（本小题满分12分）
已知函数。）讨论函数的单调性；
）设。如果对任意，，求的取值范围。
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所作的第一题记分。作答时用2b铅笔在答题卡上吧所选题目对应题号下方的方框涂黑。
22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲。
如图，的角平分线ad的延长线交它的外接圆于点e
）证明： ）若的面积，求的大小。
23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程。
已知p为半圆c：（为参数，）上的点，点a的坐标为（1,0），o为坐标原点，点m在射线op上，线段om与c的弧的长度均为。
）以o为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点m的极坐标；
）求直线am的参数方程。
24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲。
已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。
参***。一、选择题。
1）d （2）a （3）b （4）d （5）c （6）b
7）b （8）c （9）d （10）d （11）c （12）a
二、填空题。
三、解答题。
17）解：（ⅰ由已知，根据正弦定理得，即。
由余弦定理得
故 ，a=1206分。
ⅱ）由（ⅰ）得：
故当b=30°时，sinb+sinc取得最大值112分。
18）解：（ⅰ甲、乙两只家兔分在不同组的概率为……4分。
ⅱ）（i）图ⅰ注射药物a后**疱疹面积的频率分布直方图图ⅱ注射药物b后**疱疹面积的频率分布直方图。
可以看出注射药物a后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物b后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物a后疱疹面积的中位数小于注射药物b后疱疹面积的中位数8分。
ii）表3：
由于k2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物a后的疱疹面积于注射药物b后的疱疹面积有差异”。 12分。
19）证明：设pa=1，以a为原点，射线ab，ac，ap分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。
则p（0,0,1），c（0,1,0），b（2,0,0），m（1,0,），n（,0,0），s（1, ,0）.
ⅰ）,因为，所以cm⊥sn6分。
ⅱ）,设a=（x，y，z）为平面cmn的一个法向量，则9分。
因为。所以sn与片面cmn所成角为45°。 12分。
20）解：设，由题意知＜0，＞0.
ⅰ）直线l的方程为 ，其中。
联立得。解得。
因为，所以。即
得离心率。 …6分。
ⅱ）因为，所以。
由得。所以，得a=3，.
椭圆c的方程为12分。
21）解：（ⅰ的定义域为（0，+∞
当时，＞0，故在（0，+∞单调增加；
当时，＜0，故在（0，+∞单调减少；
当-1＜＜0时，令=0，解得。
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调增加，在单调减少。
ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（ⅰ）知在（0，+∞单调减少，从而。
等价于。令，则。
等价于在（0，+∞单调减少，即。
从而。故a的取值范围为（-∞212分。
22）证明：（ⅰ由已知条件，可得。
因为是同弧上的圆周角，所以。
故△abe∽△adc5分。
ⅱ）因为△abe∽△adc，所以，即ab·ac=ad·ae.
又s=ab·acsin，且s=ad·ae，故ab·acsin= ad·ae.
则sin=1，又为三角形内角，所以=90°. 10分。
23）解：（ⅰ由已知，m点的极角为，且m点的极径等于，故点m的极坐标为5分。
ⅱ）m点的直角坐标为（），a（0,1），故直线am的参数方程为。
t为参数）……10分。
24）证明：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得。
所以6分。故。
又 ③所以原不等式成立8分。
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，③式等号成立。即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立10分。
2023年高考数学理科 辽宁卷 解析
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