2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学。
第ⅰ卷（选择题共140分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1） 集合，则=（
a） （b） （c） （d）
2）在等比数列中，，公比。若，则m=（
a）9 （b）10 （c）11d）12
3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（ ）
4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）
a） （b） （cd）
5）极坐标方程（p-1）（）p0）表示的图形是（ ）
a）两个圆b）两条直线。
c）一个圆和一条射线d）一条直线和一条射线。
6）a、b为非零向量。“”是“函数为一次函数”的（ ）
a）充分而不必要条件b）必要不充分条件。
c）充分必要条件d）既不充分也不必要条件。
7）设不等式组表示的平面区域为d，若指数函数y=的图像上存在区域d上的点，则a 的取值范围是（ ）
a）（1,3] （b）[2,3] （c） （1,2] （d）[ 3,]
8）如图，正方体abcd-的棱长为2，动点e、f在棱上，动点p，q分别在棱ad，cd上，若ef=1， e=x，dq=y，dｐ＝ｚ大于零），则四面体peｆｑ的体积（ ）
a）与ｘ，ｙ都有关 （b）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关。
c）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 （d）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关。
第ii卷。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9）在复平面内，复数对应的点的坐标为。
10）在△abc中，若b = 1，c =，则a
11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140） ,140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为。
12）如图，的弦ed，cb的延长线交于点a。若bdae，ab＝4, bc＝2, ad＝3,则dece
13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为。
14）（14）如图放置的边长为1的正方形pabc沿x轴滚动。设顶点p（x，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为。
说明：“正方形pabc沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点a为中心顺时针旋转，当顶点b落在轴上时，再以顶点b为中心顺时针旋转，如此继续。
类似地，正方形pabc可以沿轴负方向滚动。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15）（本小题共13分）
已知函数。ⅰ）求的值；
ⅱ）求的最大值和最小值。
16）（本小题共14分）
如图，正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直，ce⊥ac,ef∥ac,ab=，ce=ef=1.
ⅰ）求证：af∥平面bde；
ⅱ）求证：cf⊥平面bde；
ⅲ）求二面角a-be-d的大小。
17）（本小题共13分）
某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第。
二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，（＞且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为。
ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
ⅱ）求，的值；
ⅲ）求数学期望ξ。
18）（本小题共13分）
已知函数（）=in（1+）-0）。
ⅰ）当=2时，求曲线=（）在点（1，（1））处的切线方程；
ⅱ）求（）的单调区间。
19）（本小题共14分）
在平面直角坐标系xoy中，点b与点a（-1,1）关于原点o对称，p是动点，且直线ap与bp的斜率之积等于。
ⅰ）求动点p的轨迹方程；
ⅱ）设直线ap和bp分别与直线x=3交于点m,n，问：是否存在点p使得△pab与△pmn的面积相等？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由。
20）（本小题共13分）
已知集合对于，，定义a与b的差为。
a与b之间的距离为。
ⅰ）证明：，且；
ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数。
ⅲ） 设p，p中有m（m≥2）个元素，记p中所有两元素间距离的平均值为（p）.
证明：（p）≤.
参***。二、选择题。
1）b2）c （3）c4）a
5）c6）b （7）a8）d
二、填空题。
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15）解：（i）
ii）=16）（共14分）
证明：（i） 设ac与bd交与点g。
因为ef//ag，且ef=1，ag=ac=1.
所以四边形agef为平行四边形。
所以af//平面eg，因为平面bde，af平面bde，所以af//平面bde.
ii）因为正方形abcd和四边形acef所在的平面。
相互垂直，且ceac，所以ce平面abcd.
如图，以c为原点，建立空间直角坐标系c-.
则c（0，0，0），a（，，0），b（0，，0）.
所以，，.所以，所以，.
所以bde.
iii） 由（ii）知，是平面bde的一个法向量。
设平面abe的法向量，则，.即。
所以且。令则。所以。
从而。因为二面角为锐角，所以二面角的大小为。
17）解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”， 1,2,3，由题意知，
i）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是，ii）由题意知。
整理得 ，，由，可得，.
iii）由题意知。
18）解：（i）当时，，
由于，所以曲线在点处的切线方程为，即。
ii），.当时，.
所以，在区间上，；在区间上，.
故得单调递增区间是，单调递减区间是。
当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是。
当时，，故得单调递增区间是。
当时，，得，.
所以没在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是。
19）（i）解：因为点b与a关于原点对称，所以点得坐标为。
设点的坐标为，由题意得。
化简得 .故动点的轨迹方程为。
ii）解：设点的坐标为，点，得坐标分别为，.
则直线的方程为，直线的方程为。
令得，.于是得面积。
又直线的方程为，，点到直线的距离。
于是的面积。
当时，得。又，所以=，解得。
因为，所以。
故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为。
20）证明：（i）设，，
因为，，所以， 从而。又。
由题意知，， 当时，;
当时， 所以。
ii）设，，
记，由（i）可知。
所以中1的个数为，的1的个数为。
设是使成立的的个数，则。
由此可知，三个数不可能都是奇数，即， ,三个数中至少有一个是偶数。
iii）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0，则=
由于所以。从而。
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