2024年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学(文)第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．(2014北京，文1)若集合a＝，b＝，则a∩b＝(
a． b．c．
答案：c解析：因为集合a，b中的公共元素为1,2，所以a∩b＝，应选c.
2．(2014北京，文2)下列函数中，定义域是r且为增函数的是( )
a．y＝e－x b．y＝x3
c．y＝ln x d．y＝|x|
答案：b解析：a项，函数y＝e－x为r上的减函数；
b项，函数y＝x3为r上的增函数；
c项，函数y＝ln x为(0，＋∞上的增函数；
d项，函数y＝|x|在(－∞0)上为减函数，在(0，＋∞上为增函数．
故只有b项符合题意，应选b.
3．(2014北京，文3)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝(
a．(5,7) b．(5,9) c．(3,7) d．(3,9)
答案：a解析：因为2a＝(4,8)，b＝(－1,1)，所以2a－b＝(4－(－1)，8－1)＝(5,7)．故选a.
4．(2014北京，文4)执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )
a．1 b．3 c．7 d．15
答案：c解析：开始时k＝0，s＝0.
第一次循环，k＝0＜3，s＝0＋20＝1，k＝0＋1＝1，第二次循环，k＝1＜3，s＝1＋21＝3，k＝1＋1＝2，第三次循环，k＝2＜3，s＝3＋22＝7，k＝3.
此时不满足条件k＜3，输出结果s，即输出7.故选c.
5．(2014北京，文5)设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的( )
a．充分而不必要条件 b．必要而不充分条件。
c．充分必要条件d．既不充分也不必要条件。
答案：d解析：当a＝0，b＝－1时，a＞b成立，但a2＝0，b2＝1，a2＞b2不成立，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件．
反之，当a＝－1，b＝0时，a2＝1，b2＝0，即a2＞b2成立，但a＞b不成立，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．
综上，“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，应选d.
6．(2014北京，文6)已知函数在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
a．(0,1) b．(1,2) c．(2,4) d．(4，＋∞
答案：c解析：由题意知f(1)＝－log21＝6＞0，f(2)＝－log22＝3－1＝2＞0，f(4)＝－log24＝－2＝＜0.
故f(2)·f(4)＜0.由零点存在性定理可知，包含f(x)零点的区间为(2,4)．
7．(2014北京，文7)已知圆c：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点a(－m,0)，b(m,0)(m＞0)．若圆c上存在点p，使得∠apb＝90°，则m的最大值为( )
a．7 b．6 c．5 d．4
答案：b解析：因为a(－m,0)，b(m,0)(m＞0)，所以使∠apb＝90°的点p在以线段ab为直径的圆上，该圆的圆心为o(0,0)，半径为m.
而圆c的圆心为c(3,4)，半径为1.
由题意知点p在圆c上，故两圆有公共点．
所以两圆的位置关系为外切、相交或内切，故m－1≤|co|≤m＋1，即m－1≤5≤m＋1，解得4≤m≤6.
所以m的最大值为6.故选b.
8．(2014北京，文8)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
a．3.50分钟 b．3.75分钟 c．4.00分钟 d．4.25分钟。
答案：b解析：由题中图象可知点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)在函数图象上，因此有解得。
故p＝－0.2t2＋1.5t－2，其对称轴方程为。
所以当t＝3.75时，p取得最大值．故选b.
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．(2014北京，文9)若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈r)，则x
答案：2解析：由已知得xi＋i2＝－1＋2i，即xi＝2i，解得x＝2.
10．(2014北京，文10)设双曲线c的两个焦点为，，一个顶点是(1,0)，则c的方程为。
答案：x2－y2＝1
解析：由题意知双曲线的焦点在x轴上，且，设其方程为(a＞0，b＞0)，又由顶点为(1,0)知a＝1，所以。
故所求双曲线的方程为x2－y2＝1.
11．(2014北京，文11)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为。
答案： 解析：由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中pa⊥平面abc，m为ac的中点，且bm⊥ac.
故该三棱锥的最长棱为pc.
在rt△pac中，
12．(2014北京，文12)在△abc中，a＝1，b＝2，，则csin a
答案：2 解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos c＝12＋22－2×1×2×＝4，故c＝2.所以。故。
13．(2014北京，文13)若x，y满足则的最小值为。
答案：1解析：如图，作出不等式组表示的平面区域(阴影部分所示)，目标函数可化为，作出直线l0：并平移．
因为，所以当直线过点a时，z取得最小值．
由。解得a(0,1)，所以z的最小值为。
14．(2014北京，文14)顾客请一位工艺师把a，b两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：
则最短交货期为个工作日．
答案：42解析：最短交货期为先由徒弟完成原料b的粗加工，共需6天，然后工艺师加工该件工艺品，需21天；徒弟可在这几天中完成原料a的粗加工；最后由工艺师完成原料a的精加工，需15个工作日．故交货期为6＋21＋15＝42个工作日．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．(本小题满分13分)(2014北京，文15)已知是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列满足b1＝4，b4＝20，且为等比数列．
1)求数列和的通项公式；
2)求数列的前n项和．
分析：(1)先由等差数列中的a1，a4求出公差d，即可求其通项an，然后根据b1，b4的值及为等比数列，从而求出该数列的第1项和第4项，得出其公比，从而写出其通项公式，即可求得的通项．
2)根据的通项公式的结构特征即可利用分组求和的方法求得的前n项和．
解：(1)设等差数列的公差为d，由题意得。
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)
设等比数列的公比为q，由题意得，解得q＝2.
所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.
从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)
2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)
数列的前n项和为，数列的前n项和为。
所以，数列的前n项和为。
16．(本小题满分13分)(2014北京，文16)函数的部分图象如图所示．
1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
分析：(1)首先利用公式求得的最小正周期，然后根据图形确定y0，即f(x)的最大值，再根据x0的位置即可求得其取值．
2)先根据x的范围确定的范围，进而求得f(x)的最值．
解：(1)f(x)的最小正周期为π.
y0＝3.2)因为，所以。
于是，当，即时，f(x)取得最大值0；
当，即时，f(x)取得最小值－3.
2024年高考北京数学试题 文科
北京2011年高考数学试题及答案 文科 作者 上海育路网发布时间 2011 12 14 上海育路网。泰尔弗国际商学院中外合作 锦江国际理诺士酒店管理学院 同济大学国际交流中心 上海交大英国留学直通车 全国优秀高校推荐。2011年普通高等学校招生全国统一考试 北京卷 数学 文 本试卷共5页，150分。...
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