一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 计算的结果等于。
abcd.
2. 以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为。
a. b. c. d.
3. 设等差数列的前项和为。若，，则当取最小值时，等于。
a. 6b. 7c. 8d. 9
4. 函数，的零点个数为。
a. 0b. 1c. 2d. 3
5. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于。
a. 2b. 3c. 4d. 5
6. 如图，若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体，其中为线段上异于的点，为线段上异于的点，且，则下列结论中不正确的是。
a. b.四边开是矩形 c.是棱柱 d.是棱台。
7. 若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为。
a. b. c. d.
8. 设不等式组所表示的平面区域是，平面区域与关于直线对称，对于中的任意a与中的任意点b，的最小值等于。
ab. 4cd. 2
9. 对于复数若集合具有性质“对任意，必有”，则当时，则等于。
a. 1bc. 0d.
10. 对于具有相同定义域d的函数和，若存在函数（为常数），对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有则称直线为曲线与的“分渐近线”。给出定义域均为的四组函数如下：
其中，曲线与存在“分渐近线”的是。
abcd. ③
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
11. 在等比数列中，若公比，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式。
12. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于。
13. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。
假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于。
14. 已知函数和的图象的对称轴完全相同。若，则的取值范围是。
15. 已知定义域为的函数满足：（1）对任意，恒有成立；（2）当时，。给出如下结论：
①对任意，有；
②函数的值域为；
③ 存在，使得；
“函数在区间上单调递减”的充要条件是。
存在，使得”。
其中所有正确结论的序号是。
三、解答题 ：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分13分 ）
设是不等式的解集，。
（i）记“使得成立的有序数组”为事件，试列举包含的基本事件；
（ii）设，求的分布列及其数学期望。
17. （本小题满分13分 ）
已知在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点。
i）求椭圆的方程；
ii）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。
18.（本小题满分13分 ）
如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆的直径。
i）证明：平面平面；
ii）设，在圆柱内随机选取一点，记该点取自三棱柱内的概率为。
i）当点在圆周上运动时，求的最大值；
ii）如果平面与平面所成的角为。当取最大值时，求的值。
19．(本小题满分13分)
某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距海里的处，并正以30海里小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。
ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
20.（本小题满分14分）
ⅰ）已知函数，其图像记为曲线。
（i）求函数的单调区间；
(ii) 证明：若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点。曲线与其在点处的切线交于另一点，线段与曲线所围成封闭图形的面积分别记为，则为定值：
ⅱ）对于一般的三次函数，请给出类似于(ⅰ)ii)的正确命题，并予以证明。
21．本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
1)(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换。
已知矩阵，，且。
ⅰ)求实数的值；
ⅱ)求直线在矩阵所对应的线性变换作用下的像的方程。
2)(本小题满分7分)选修4－4分：坐标系与参数方程。
在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)。在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为。
ⅰ)求圆的直角坐标方程；
ⅱ)设圆与直线交于点．若点的坐标为，求．
(3)(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲。
已知函数．ⅰ)若不等式的解集为，求实数的值；
ⅱ)在(ⅰ)的条件下，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围。
2023年高考 福建卷 理科数学
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