第ⅰ卷。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1）设复数满足，则。
a）1 （b） （c） （d）2
2）sin20°cos10°－cos160°sin10°＝
a） （b） （c） （d）
3）设命题p： nn， >则p为。
a）nn， >b）nn，≤
c）nn，≤ d）nn，＝
4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为。
a）0.648 （b）0.432 （c）0.36 （d）0.312
5）已知m（x0，y0）是双曲线c：上的一点，f1、f2是c上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是。
a） （b） （c）（d）
6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中。
有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米。
如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长。
为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各。
为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率。
约为3，估算出堆放的米约有。
a）斛 （b）斛 （c）斛 （d）斛。
7）设d为abc所在平面内一点，则。
a） （b）
c） （d）
8）函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为。a）b）
c）d）
9）执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的。a）b）
c）7d）8
10）的展开式中，的系数为。
a）10b）20
c）30d）60
11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成。
一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图。
所示，若该几何体的表面积为16＋20，则r＝
a）1b）2
c）4d）8
12）设函数f（x）＝ex（2x－1）－ax＋a，其中a1，若存。
在唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是。
a）[，1） （b）[）c）[）d）[，1）
第ⅱ卷。本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13）若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则a＝ ．
14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 ．
15）若x，y满足约束条件，则的最大值为 ．
16）在平面四边形abcd中，∠a＝∠b＝∠c＝75°，bc＝2，则ab的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17）（本小题满分12分）为数列{}的前n项和。已知》0，．
ⅰ）求{}的通项公式；
ⅱ）设，求数列}的前n项和．
18）（本小题满分12分）如图，四边形abcd为菱形，∠abc＝120°，e，f是平面abcd同一侧的两点，be⊥平面。
abcd，df⊥平面abcd，be＝2df，ae⊥ec．
ⅰ）证明：平面aec⊥平面afc；
ⅱ）求直线ae与直线cf所成角的余弦值．
19）（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：
千元）的影响，对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中，，．）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
）根据（）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为，根据（）的结果回答下列问题：
i）当年宣传费=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为。
20）（本小题满分12分）在直角坐标系xoy中，曲线c：y＝与直线y＝kx＋a（a>0）交于m，n两点．
ⅰ）当k＝0时，分别求c在点m和n处的切线方程；
ⅱ）y轴上是否存在点p，使得当k变动时，总有∠opm＝∠opn？说明理由．
21）（本小题满分12分）已知函数f（x）＝．
ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线的切线；
ⅱ）用表示m，n中的最小值，设函数，讨论h（x）零点的个数．
请考生在题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
请考生在题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲。
如图ab是o直径，ac是o切线，bc交o与点e．
）若d为ac中点，证明：de是o切线；
）若，求的大小．
23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程。
在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
）求的极坐标方程；
）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积．
24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲。
已知函数．）当时求不等式的解集；
）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案。
一、 选择题。
1）a （2）d （3）c （4）a （5）a （6）b
7）a （8）d （9）c （10）c （11）b （12）d
二、填空题
二、 解答题。
17）解：i）由，可知。
可得即。由于可得。
又，解得。所以是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为。
ii）由，设数列的前n项和为，则。
18）解：i）连结bd，设bdac=g，连结eg，fg，ef.在菱形abcd中不妨设gb=1.
由abc=120°，可得ag=gc=.由 be平面abcd, ab=bc可知ae=ec.
又aeec，所以eg=，且egac.在rtebg中，可得be=故df=.在rtfdg中，可得fg=.
在直角梯形bdfe中，由bd=2，be=，df=，可得fe=.从而。
又因为。所以平面。
i） 如图，以g为坐标原点，分别以gb，gc的方向为x轴，y轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标系g-xyz.
由（i）可得所以。
故。所以直线ae与直线cf所成直角的余弦值为。
19）解：i）由散点图可以判断，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。 …2分。
ii）令，先建立y关于w的线性回归方程。由于。
所以y关于w的线性回归方程为，因此y关于x的回归方程为。 …6分。
iii）（i）由（ii）知，当x=49时，年销售量y的预报值。
年利润z的预报值9分。
（ii）根据（ii）的结果知，年利润z的预报值。
所以当，即x=46.24时，取得最大值。
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大12分。
20）解：（i）有题设可得又。
处的导数值为，c在点出的切线方程为。
即。故所求切线方程为。
i） 存在符合题意的点，证明如下：
设p(0，b)为符合题意的点，m(x,y),n(x,y)直线pm，pn的斜率分别为。故。从而。
当b=-a时，有。
21）解：i）设曲线y=f(x)与x轴相切于点。
因此，当。ii）当。
是的零点。综上，当。
22）解：i）链接ae，由已知得，
在中，由已知得，de=dc故。
链接oe，则obe=oeb又acb+abc=90°所以dec+oeb=90°
故，de是得切线。
ii）设ce=1，ae=x，由已知得，
由摄影定理可得，ae=所以即。
可得，所以。
23）解：i）因为，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为5分。
ii）将代入，得，解得，。故，即。
由于的半径为1，所以的面积为10分。
24）解：（i）当时，化为，当时，不等式化为，无解；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得。
所以的解集为5分。
ii）由题设可得，
所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为。
由题设得，故。
所以a的取值范围为10分。
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