2024年普通高等学校招生全国统一考试。
数学（理）（北京卷）
第ⅰ卷（选择题共140分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1） 集合，，则。
(abcd)
2）在等比数列中，，公比。若，则( )
a）9b）10c）11d）12
3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为。
4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为。
abcd）
5）极坐标方程表示的图形是 (
a）两个圆b）两条直线。
c）一个圆和一条射线d）一条直线和一条射线。
6）为非零向量。“”是“函数为一次函数”的 (
a）充分而不必要条件b）必要不充分条件。
c）充分必要条件d）既不充分也不必要条件。
7）设不等式组， 表示的平面区域为，若指数函数的图像上存在区域上的点，则的取值范围是 (
（a）(1,3b )[2,3c ) 1,2d )[3,]
8) 如图，正方体的棱长为，动点在棱上，动点分别在棱上，若，（大于零），则四面体的体积。
（a）与都有关b）与有关，与无关。
c）与有关，与无关d）与有关，与无关。
第ii卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9）在复平面内，复数对应的点的坐标为。
10）在中，若，，，则。
11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知若要从身高在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为。
12）如图，的弦的延长线交于点。若，则。
13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为。
14）如图放置的边长为1的正方形pabc沿轴滚动。设顶点的轨迹方程是，则函数的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15）（本小题共13分）
已知函数。ⅰ）求的值；
ⅱ）求的最大值和最小值。
16）（本小题共14分）
如图，正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直，，，
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求证：平面；
ⅲ）求二面角的大小。
17) (本小题共13分)
某同学参加门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第。
二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为。
ⅰ)求该生至少有门课程取得优秀成绩的概率；
ⅱ)求，的值；
ⅲ)求数学期望。
18)(本小题共13分)
已知函数。ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；
ⅱ)求的单调区间。
19）（本小题共14分）
在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于。
ⅰ)求动点的轨迹方程；
ⅱ)设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。
20）（本小题共13分）
已知集合对于，，定义与的差为； 与之间的距离为。
ⅰ）证明：，且；
ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数。
ⅲ) 设，中有个元素，记中所有两元素间距离的平均值为。
证明：。
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