一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．复数。abcd．
答案：a解析：
知识点：复数运算。
关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2023年北京卷理科试题复数运算。
2.若x，y满足则的最大值为。
a．0b．1cd．2
答案：d解析：如图，先画出可行域，由于，则，令z=0，作直线，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，z取得最小值2.
知识点：线性规划。
关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2023年北京卷理科试题线性规划。
3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为。
a． b． c． d．
答案：b解析：运行程序：
x=1，y=1，k=0，s=1-1=0，t=1+1=2，x=0，y=2，k=0+1=1，因为1≥3不满足，s=-2，t=2，x=-2，y=2，k=2，因为2≥3不满足，s=-4，t=0，x=-4，y=0，k=3，因为3≥3满足，输出(-4,0).
知识点：程序框图。
关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2023年北京卷理科试题程序框图。
4.设α，β是两个不同的平面，m是直线且 “”是“”的。
a．充分而不必要条件b．必要而不充分条件。
c．充分必要条件d．既不充分也不必要条件。
答案：b解析：因为α，β是两个不同的平面，m是直线且．若“”，则平面α，β可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件。
知识点：空间直线与平面的位置关系、充要条件。
关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2023年北京卷理科试题空间直线与平面的位置关系、充要条件。
5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是。
a． b． c． d．5
答案：c解析：
根据三视图恢复成三棱锥p-abc，其中pc⊥平面abc，取ab棱的中点d，连接cd、pd，有pd⊥ab，cd⊥ab，底面abc为等腰三角形底边ab上的高cd为2，ad=bd=1,pc=1, ,三棱锥表面积。
知识点：三视图、三棱锥的表面积。
关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2023年北京卷理科试题三视图、三棱锥的表面积。
6.设是等差数列。 下列结论中正确的是。
a．若，则
b．若，则。
c．若，则
d．若，则。
答案：c解析：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即a不正确；
若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+2d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即b不正确；
an}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2[, a2＞[,
即c正确；若a1＜0，则(a2-a1)(a2-a3)=-d2＜0，即d不正确．
故选：c．知识点：等差数列通项公式、作差比较法。
关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2023年北京卷理科试题等差数列通项公式、作差比较法。
7.如图，函数的图象为折线acb，则不等式的解集是。
ab． cd．
答案：c解析：
如图所示，把函数的图像向左平移一个单位得到的图像x=1时两图相交，不等式的解为-1知识点：函数图象、解不等式。
关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2023年北京卷理科试题函数图象、解不等式。
8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了。
甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。 下列叙述中正确的。
是。a．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米。
b．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多。
c．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油。
d．某城市机动车最高限速80千米/小时。 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油。
答案：d解析： “燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，a中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，a错误；b中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，b错误，c中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km，消耗8升汽油，c错误，d中某城市机动车最高限速80千米/小时。
由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，选d.
知识点：函数应用问题、对“燃油效率”新定义的理解、对图象的理解。
关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2023年北京卷理科试题函数应用问题、对“燃油效率”新定义的理解、对图象的理解。
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9.在的展开式中，的系数为用数字作答）
答案：40解析：利用通项公式，，令r=3，得出的系数为。
知识点：二项式定理。
关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2023年北京卷理科试题二项式定理。
10.已知双曲线的一条渐近线为，则a=__
答案： 解析：双曲线的渐近线方程为，因为a>0，则
知识点：双曲线的几何性质。
关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2023年北京卷理科试题双曲线的几何性质。
11.在极坐标系中，点到直线的距离为 ．
答案：1解析：先把点极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离公式。
知识点：极坐标与直角坐标的互化、点到直线距离。
关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2023年北京卷理科试题极坐标与直角坐标的互化、点到直线距离。
12.在△abc中，a=4，b=5，c=6，则 ．
答案：1解析：
知识点：正弦定理、余弦定理。
关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2023年北京卷理科试题正弦定理、余弦定理。
13.在△abc中，点m、n满足，．若，则xy
答案： 解析：特殊化，不妨设ac⊥ab，ab=4，ac=3，利用坐标法，以a为原点，ab为x轴，ac为y轴，建立直角坐标系，， 则， .
知识点：平面向量。
关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2023年北京卷理科试题平面向量。
14.设函数。
若a=1，则的最小值为 ；
若恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ．
答案：(1)1，(2) 或。
解析：①当a=1时， ,当x＜1时，f(x)=2x-1为增函数，f(x)＞-1，当x＞1时，f(x)=4(x-1)(x-2)=4(x2-3x+2)=4(x-)2-1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f(x)min=f()=1；
设h(x)=2x-a，g(x)=4(x-a)(x-2a)，若在x<1时，h(x)与x轴有一个交点，所以a>0，并且当x=1时，h(1)=2-a>0，所以0知识点：函数的图象、函数的零点、分类讨论思想。
关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2023年北京卷理科试题函数的图象、函数的零点、分类讨论思想。
三、解答题。
15、（本小题满分13分）
已知函数．ⅰ) 求的最小正周期；
ⅱ) 求在区间上的最小值．
答案：（ⅰ2π，（
解析： ⅰ) 的最小正周期为；
ⅱ) 当即时，取得最小值为：。
知识点：三角函数式的恒等变形、三角函数图像与性质。
关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2023年北京卷理科试题三角函数式的恒等变形、三角函数图像与性质。
16. （本小题满分13分）
a、b两组各有7位病人，他们服用某种药物后的**时间（单位：天）记录如下：
a组：10，11，12，13，14，15，16
b组：12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的**时间互相独立，从a、b两组随机各选1人，a组选出的人记为甲，b组选出的人记为乙．
ⅰ) 求甲的**时间不少于14天的概率；
ⅱ) 如果a=25，求甲的**时间比乙的**时间长的概率；
ⅲ) 当a为何值时，a、 b两组病人**时间的方差相等？（结论不要求证明）
答案：（1），（2），（3）a=11或18；
解析：设事件ai为“甲是a组的第i个人”，事件bi为“乙是b组的第i个人”，由题意可知p(ai)=p(bi)= i=1，2，…，7
ⅰ）事件“甲的**时间不少于14天”等价于“甲是a组的第5或第6或第7个人”，所以甲的**时间不少于14天的概率p(a5∪a6∪a7)=p(a5)+p(a6)+p(a7)=
ⅱ）设事件c为“甲的**时间比乙的**时间长”，则c=a4b1∪a5b1∪a6b1∪a7b1∪a5b2∪a6b2∪a7b2∪a7b3∪a6b6∪a7b6，p（c）=p（a4b1）+p（a5b1）+p（a6b1）p+（a7b1）+p（a5b2）+p（a6b2）+p（a7b2）+p（a7b3）+p（a6b6）+p（a7b6）
10p（a4b1）=10p（a4）p（b1）=[
ⅲ）当a为11或18时，a，b两组病人**时间的方差相等．
17. （本小题满分14分）
如图，在四棱锥a-efcb中，△aef为等边三角形，平面aef⊥平面efcb，ef∥bc，bc=4，ef=2a，∠ebc=∠fcb=60°，o为ef的中点．
ⅰ) 求证：ao⊥be；
ⅱ) 求二面角f-ae-b的余弦值；
ⅲ) 若be⊥平面aoc，求a的值．
答案：(ⅰ证明见解析。
解析：(ⅰ由于平面aef⊥平面efcb，△aef为等边三角形，o为ef的中点，则ao⊥ef，根据面面垂直性质定理，所以ao⊥平面efcb，又be平面efcb，则ao⊥be.
ⅱ)取cb的中点d，连接od,以o为原点，分别以oe、od、oa为x、y、z轴建立空间直角坐标系，， 由于平面aef与y轴垂直，则设平面aef的法向量为，设平面aeb的法向量，，，则，二面角f-ae-b的余弦值，由二面角f-ae-b为钝二面角，所以二面角f-ae-b的余弦值为。
ⅲ）由（ⅰ）知ao⊥平面efcb，则ao⊥be，若be垂直平面aoc，只需be⊥oc，，又，，解得。
a=2或，由于a<2，则。
知识点：线线垂直的证明、利用法向量求二面角、利用数量积解决垂直问题。
关键字：高考真题金考卷新高考5年真题汇编 2023年北京卷理科试题线线垂直的证明、利用法向量求二面角、利用数量积解决垂直问题。
18. （本小题满分13分）
已知函数．（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）求证：当时，；
ⅲ）设实数使得对恒成立，求k的最大值．
答案：（ⅰ2x-y=0，（ⅱ证明见解析，（ⅲk的最大值为2.
解析：（ⅰ曲线在点处的切线方程为2x-y=0；
ⅱ）当时，，即不等式，对成立，设。
则，当时，，故在（0，1）上为增函数，则，因此对，成立；
ⅲ）使成立，，等价于；，当时，，函数在（0，1）上位增函数，，符合题意；
当k>2时，令，显然不成立；
综上所述可知：k的最大值为2.
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