2024年高考数学试卷（北京卷）试题分析（第三部分）
参加编写人员：
关闳、李梁、刘甦、宁少华、杜君毅、陆群、曾建川、王海涛、张晓东、于伟东、
姚晖、于龙、张红敏、欧阳昕、党胜军、周建军、杨宝华、白雪。
解答题。15）（文理相同）
已知函数的最小正周期为，ⅰ）求的值；
ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
命题意图】本题考查三角函数中的诱导公式、降幂公式、二倍角公式、辅助角公式及三角函数（或）的图象、性质、最小正周期公式等基础知识．考查利用三角公式进行恒等变形的技能和基本的运算能力．
正确解法】（ⅰ解法1：
的最小正周期为，且，
解法2：以下同解法1
ⅱ）解法1：由（ⅰ）得。
即函数在区间上的取值范围为[0，]．
解法2：由（ⅰ）得。
即函数在区间上的取值范围为[0，]．
解法3：由（ⅰ）得。由。得。
的单调增区间为。由。得。
的单调减区间为。
在上是增函数，在上是减函数；， 即函数的取值范围为[0，]．
解法4：由（ⅰ）得，令，得。
函数的取值范围为[0，]．
解法5：作出函数，或的图象，由图象得所求．（图象略）
理科学生的主要问题】
1．公式写错，如诱导公式不会用或用错，将写成了，或是，降幂公式错写成，或是等，辅助角公式中的符号出错，如，还有运用辅助角公式时，特殊角配错，如化成了，等，这些均导致第一问解析式错．
2．思路不清，变形方向不明确，如将解析式变形为：
得出的错误结果．
3．对三角函数最小正周期的概念理解不到位，出现以下错误解答：有函数的最小正周期为，得，然后将代入原式，通过恒等变换得，再求的取值范围．
4．函数的概念不清，将第二问中的范围，错误地理解为的范围，或是的范围了．
5．表述中只有结论，没有推理过程，特别是第二问最值取得的理由叙述不清．
6．用图象法解答时，作图不准确．
7．心理紧张，不仔细审题，抄错数或”丢三落四”（如将解析式中的丢掉），计算不准确，有些学生甚至出现错上加错．
文科学生的主要问题】
典型错误一] （1）由，可得。
因为，所以。
所以。因此，即的取值范围是。
典型错误二] （1）同正确解法一的第一问。
（2）由（1）得。
因为，所以。
所以。因此，即的取值范围是。
本题解答过程中考生出现的错误有。
1． 公式记忆不清。如：
2． 定义域、值域的概念不清。
如：由。3． 特殊角的三角函数值记忆不清。
如： 4． 求值域说理不清。
5． 运算错误。
如：在运算过程中。
教学建议】三角恒等变形对于学生来说是一个难点，应多加强对学生三角恒等变形的训练，重视基础知识和技能培养，不要赶进度而忽略第一轮基本知识的复习．在三角函数的教学中强调数形结合的数学思想方法，借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与x轴的交点等性质．
三角函数内容最在高考中一般大都是比较基本的题型，涉及的内容主要有考查三角函数恒等变形，考查三角函数的图象和性质，尤其是最值和周期．为了提高试题的得分率，我们在平时的教学中应注意以下几点：
1. 要讲清楚各公式的来龙去脉，把握公式的结构特征和相互之间的关系；
2. 重视学生对知识理解的准确性和深刻性，在理解的基础上记忆公式，对公式的正用、逆用和变形使用的训练要落实到位；
3. 注重错因分析，在教学中注意培养学生数形结合的思想及整体思想．
4. 要培养学生良好的思维习惯，解题过程的表述要追求科学、严谨、规范．
理科：如图，在三棱锥中，，，
ⅰ）求证：；
ⅱ）求二面角的大小；
ⅲ）求点到平面的距离．
文科：如图，在三棱锥中，，，
ⅰ）求证：；
ⅱ）求二面角的大小。
命题意图】知识上：主要考查直线与直线，直线与平面位置关系；二面角；点到平面的距离等基础知识．
能力上：考查空间想象能力和逻辑推理能力。
试题特点：正确解法】
方法二：又，
平面． 平面，
方法三：，
平面． 平面，
方法四：且，平面．
是在平面上的射影，利用方法二（证全等）或方法三（勾股定理的逆定理）证明出．
根据三垂线定理得．
方法五：利用方法二或方法三证明出，又，且，
如图以c为原点建立空间直角坐标系，c－xyz，则，
ⅱ）解：方法二：
利用（ⅰ）中方法二（证全等）或方法三（勾股定理的逆定理）正确证明出平面。
作于点，连结．
根据三垂线定理得出．
以下同（ⅱ）中方法一．，或）．
方法三：”面积射影定理”
利用（ⅰ）中方法二（证全等）或方法三（勾股定理的逆定理）知平面。的射影为。
方法四：由（ⅰ）知平面，∴平面平面。
过作垂足为，取线段中点，连结。
平面平面，平面。
平面，在等腰中，
由三垂线定理知为所求的角。
利用（ⅰ）中方法二平面， 又平面。
在rt中，
方法五：利用方法二或方法三证明出，又，且，
如图以c为原点建立空间直角坐标系，c－xyz，则。
设．∵∴取ap中点e，连结be，ce
ce⊥ap be⊥ap
∠bec是二面角b－ap－c的平面角。
二面角b－ap－c的大小为
方法六：利用方法二或方法三证明出，又，且，
如图以c为原点建立空间直角坐标系，c－xyz，
设向量为平面pab的一个法向量， 向量为平面pac的一个法向量
由ⅰ易知cb⊥平面pac，设．∵∴
又。二面角b－ap－c的大小为。
方法一：由（ⅰ）知平面，∴平面平面。
过作垂足为，取线段中点，连结。
平面平面，平面。
平面。利用（ⅰ）中方法二平面， 又平面。
在rt中，
方法二：根据，得出点在平面上的射影为正的外心（即正的中心）．
计算出（或）．
根据勾股定理正确求出．
方法三：利用等体积的方法：
代入公式．
方法四：（向量法一）
在平面**影为正的中心，且的长为点到。
平面的距离。
如(ⅱ)建立直角坐标系。
点坐标为 方法五：（向量法二）
如(ⅱ)建立直角坐标系。
平面的法向量
点到平面的距离
方法六：（向量法三）
如(ⅱ)建立直角坐标系。
设平面的法向量，平面的法向量
点到平面的距离
学生的主要问题】
1． “三垂线定理”使用不当，利用三垂线定理证明两直线垂直时，缺乏”直线与平面垂线”这一前提条件而直接得射影；利用三垂线定理作二面角时，缺乏”直线与平面垂线”证明这一重要环节．”三垂线定理”使用上，文科同学问题更多一些．
2．利用向量法解题时，许多学生直接以c为原点建立空间直角坐标系c－xyz，忽视了缺少了“”这一重要条件，应该先证明，再建系．
3．计算能力差，主要表现在解三角形、求法向量等问题上．
4．图形语言、符号语言表述上不规范．
教学建议】1．依纲靠本，控制难度。
从近年高考立体几何试题的命题**来看，很多题目是出自于课本，或略高于课本．我们在复习备考中，一定要依纲靠本，进行一题多解和多题一解的教学，吃透教材的实质，还要控制好题目的难度，不出偏题、怪题．
2．理据充分，规范答题。
从近年立体几何解答题的答题情况来看，学生”会而不对，对而不全”的问题比较严重，很值得引起我们的重视．因此，在平时的训练中，我们就应当培养学生规范答题的良好习惯，要使学生在做解答题时作到“一看、二证、三求解”．
3．重视想象，识图画图。
立体几何是培养学生空间想象力的数学分支．在具体要求上，要把握好以下三点：1、培养学生识图、想图、画图的能力．（包括规范图形和非规范图形）；2、培养学生将概念、性质灵活应用于图形的能力，要把文字语言、符号语言和图形语言有机结合起来；3、培养学生对图形的处理能力，会把非标准图形转化为标准图形，对图形的割、补、折、展等高考长考不衰的内容应重点关注．
4．几类问题的注意事项：
1）线面平行与垂直问题。
a、 采用综合法思考问题：由已知想性质定理，由求证想判定定理，“两头夹”．
b、 每一个结论都要申明条件，做到“有理由据”．
c、 要重视“三垂线定理”，应为它是立体几何的“半壁河山”．
2）空间的角与距离问题。
a、先证后算．
b、求角和距离的关键将空间的角和距离转化为平面上的角和距离，然后将所求量置于一个三角形内，通过解三角形最终得到所求．
c、异面直线所成角是锐角或直角．当解三角形得到角的余弦值是负值时，不能直接套用反三角函数公式．
d、 在解答题中求二面角的平面角时，不能直接利用结论：
3）几何体的面积与体积问题。
a、 正确记忆公式．
b、 要抓住反映多面体、旋转体特征的三角形、梯形、轴截面、平行于底面的截面等．
2024年高考数学试卷全国2卷
a 16 b 14 c 12 d 10 二 填空题。13 若x，y满足约束条件则z 3x y的最小值为。14 当函数取得最大值时，x 15 若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为。16 三菱柱abc a1b1c1中，底面边长和侧棱长都相等，baa1 caa1 50 则异面直...
2024年高考数学试卷分析 江苏卷
命题范围 高中数学必修 选修 2或选修 3 选修系列四。文科 艺术总分160分，理科200分，其中选择题70分 14 5 解答题90分 分 分 理科部分40分 分 选做2题，分为a b c d 均为10分，为必做题。一 填空题 第1题 考查的是交集及其运算，考查基础知识，难度较小。第2题 考查的是复...
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