中学生数学·２０年１２月上·第４０７期（高中）
寸。０１０年高考数学北京卷理科压轴题剖析。高。老。
清华大学附属中学（１０徐虫兵。
０１０年北京首次进入新课标高考，与２００
中所有元素的第ｉ个位置的数字中共有ｔ个。
围年旧高考相比，难度略有增加，区分度更明显．，ｍ个０，则∑ｄ（一∑ｔ（优一ｔ）．考查基础、突出重点的同时，更加突出体现了。
泡。新课标要求的六种能力，即：空间想像能力，抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，数。
据处理能力，数学应用意识．如理科的第８题、１４题、１７题、１９题、２ｏ题，体现了今后我国要培养“创新型人才”的总体方向，也是高校要选。
由于￡（—一１，２所以∑ｄ（
综合①、②得不等式。
拔具有“后续学习能力”型人才的体现．
北京卷的（２０题和往年一样，明显具有北。
京卷特色，别具一格．重点考查学生对数学定。
义的阅读理解能力，考查综合运用所学知识和方法解决新问题的能力，考查抽象概括能力和推理论证能力．
题目 （２年北京卷理科２ｏ题）从而 （ｐ
思考１本题目考查的是算两次计数法，对考生有较高的要求，此题和如下试题不谋。
而合．供题。
２００年海淀区高三二模理科压轴。
已知集合ｓ 一｛ｘｆ一。
行≥２）题）对某些正整数 ，存在为集合｛１，的个不同子集，且对１≤ｉ均有①ｉ硭ａ ，每个ａ至少含有三个元素；②ｉ的充要条件是。
（其中ｉ≠ 为。
了表示这些子集，作行列的数阵，规定第ｉ行与第列的数为ｎ 一０，￣对于ａ一一定义ａ与ｂ的差为。
—ｂ一（ｉａ一ｂ１ｌ一ｂ２ｌ一６ １
与ｂ之间的距离为ｄ（ａ一。
１）作出的数阵每列至少有多少个１７（用含的表达式写出所作数阵中１的。
个数ｆ（７并证明ｎ≥７
３）问：设ｐ ５中有 （ｍ个元。
素，记ｐ中所有两元素间距离的平均值为（ｐ）证明：（ｐ
３）请构造出集合｛１，的７个不同子集使得满足。
分析对“ｐ中所有两个元素间距离的总。
题目已知中①和②．（写出一种满足要求的构。
造即可）和。
（ａ，算两次，方面精确计数：
解 （１根据①每个ａ 至少含有三个元。
素，得：作出的数阵每列至少有３个１；
ｄ（一ｃ ·
２）①中的ｉａ。表明数阵的一条对角线上的方格内数字都是０，②表明除这条对角线。露。黪。
另一方面不精确计数：把ｍ个点的坐标写出来，构成一个行ｎ列的数阵．从每一列来考虑．设数阵的第ｉ列共有ｔ个１，一￡个０，即设。
以外，ａ 和ａ 恰好一个为１，而另一个为０，即数阵中除此对角线以外，０和１各占一半，故数。黪。**。
０ ●电子邮箱。
中学生数学·２０年１２月上·第４０７期（高中）
阵中共有个１；
２）设ｐ中所有元素的第ｉ个位置的数字中。
３）考察数阵中的１的总数；一方面１的总数为。
另一方面因为数阵每列至少有。
共有ｔ个１，ｍ个０，则∑ｄ（一∑ｔｉ
ｉ），由于 （—一１，２士。高。
三个１，所以整个阵（共ｎ列）至少有３个１，因此可以列出不等式。
３，２解得 ≥７
所以，ｂ∈惫。固。弛。
综合（１）得。
可以构造ａ 一一。
一一一．．ｍ
一｛１，当一５时中等号取不。
士。注本题的第（３）问是对数阵中的１的总。到．．’
数“算两次”．
第一次是精确计数，为下ｎ￣－个１；第二次。
下面构造。是不精确计数，从每一列考虑，每列至少有三个１，所以整个数阵（共７＂ｌ列）至少有３ 个１．从而得出不等式。
厶。显然满足题设．
思考３与之有关联的一道自主招生题：
２００年上海交大冬令营）通信工程中常用元数组（倪表示信息，其中以一０或１，ｉ设“一（ｎ１口。
思考２本题目还可以改编成如下题目．改编题已知集合一（ｚ 一。
表示“和中相。
对于ａ一（ｎ１口 ），一。
对应的元素不同的个数．
１）若问存在多少个５元数组 ，使得ｄ（ｕ一１７
２）若一问存在多少个５
元数组７３，使得ｄ（ｕ一３７
３）令一一（ｎ１以２，口３，ｓ定义ａ与ｂ之间的距离为ｄ（ａ一。
ｌｎ一ｂｉ．设ｐ ｓ中有个元素，求ｍ的最大值．
分析对“ｐ中所有两个元素问的距离的。
总和∑ｄ（算两次，ｂ∈尸。
口 ），一。
１）由ｄ（ａ知∑ｄ（
求证。责审张思明）彳。
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