2024年全国高考数学（理科）分析 （全国卷一）
---高二数学备课组。
一． 全国考纲与山东考试说明对照。
通过认真比对2014高考考试大纲——理科数学(新课标)与2024年普通高等学校招生全国统一考试山东卷考试说明，发现：
一）全国考纲与山东考试说明在对学生的考查要求上完全一致。
两者都强调：(1)对数学基础知识的考查 (2)对数学思想方法的考查 (3)对数学能力的考查，(4)对应用意识的考查 (5)对创新意识的考查。其中，在对知识要求的考查上均分为了解，理解，掌握三个层次。
在对能力要求的考查上均考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识七种能力。
二）在考查范围上略有不同。
山东卷没有选考内容，在考试范围上为《课程标准》的必修内容和选修系列2的内容；以及选修4-5中的部分内容：不等式的选讲部分中的不等式的基本性质和证明的基本方法。仅要求(1)理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
①|ax+b|≤|a|+|b|. a-b|≤|a-c|+|c-b|.
2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.
3)了解证明不等式的基本方法：比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法。
全国卷包括必考内容和选考内容两部分，必考内容均为《课程标准》的必修内容和选修系列2的内容；选考内容为《课程标准》的选修系列4的"几何证明选讲"、"坐标系与参数方程"、"不等式选讲"等3个专题。其中选考内容与要求。
1.几何证明选讲。
(1)了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理。
⑵会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定地理及性质定理。
⑶会证明并应用相交弦定理，圆内接四边形的性质定理与判定定理，切割线定理。
⑷了解平行投影的含义，通过援助与平面的位置关系了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆)。
(5)了解下面定理。
定理：在空间中，取直线l为轴，直线l’与l相较于o，其夹角为α，l’围绕l旋转得到以o为顶点，l’为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β(π与l平行，记β=0)，则：
① β平面π与圆锥的交线为圆锥，② 平面π与圆锥的交线为抛物线。
③β<平面π与圆锥的交线为双曲线。
(6)会利用丹迪林(dandelin)双球(如下面所示，这两个球位于圆锥内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥面均相切，其切点分别为f,e)正面上述定理①的情形：当时α>β时，平面π与圆锥的相交线为椭圆。
(图中上，下两球与圆锥切面相切的切点分别为b和c，线段bc与平面π相交于a)
(7)会证明以下结果：
①在(6)中，一个丹迪林球与圆锥的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π’.
②如果平面π与平面π的交线为m，在(5)①中椭圆上任取一点a，该丹迪林球与平面π的切点为f，则点a到点f的距离与点a到直线m的距离比是小于1的常熟e(称点f为这个椭圆的焦点直线m为椭圆的准线，常数e为离心率)。
(8)了解定理(5)③中的证明，了解当β无线接近α时，平面π的极限结果。
2.坐标系与参数方程
(1)坐标系
①理解坐标系的作用。
②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。
③能在极坐标系中用极坐标白哦是点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。
④ 能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。
⑤了解柱坐标，球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别。
⑵参数方程
② 了解参数方程，了解参数的意义。
能选择适当的参数写出直线，圆和圆锥曲线的参数方程。
③了解平摆线，渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程。
④了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。
3.不等式选讲
(1)理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
①|ax+b|≤|a|+|b|.
②|a-b|≤|a-c|+|c-b|.
③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.
(2)了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明。
①柯西不等式的向量形式：
③(此不等式通常称为平面三角不等式。)
(3)会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：
(4)会用向量递归方法讨论排序不等式。
(5)了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。
(6)会用数学归纳法证明贝努利不等式(x>-1，x≠0，n为大于1的正整数)，
了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立。
(7)会用上述不等式证明一些简单问题，能够利用平均值不等式，柯西不等式求一些特定函数的极值。
(8)了解证明不等式的基本方法：比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法。
除此以外，其余必考内容中的必修部分与选修2系列内容与要求上完全一样，一个字都不差。
二、 全国卷（卷一）理科与山东卷理科试题结构形式及考点对照。
从整体结构看，全国卷（卷一）（理科）一卷12个选择题；二卷非选择题为4道填空题和5道必做题和三道三选一解答题。其中选做题要求：三题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2b铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
山东卷理科一卷10个选择题；二卷非选择题为5道填空题和6道必做题。
从分值上看，全国卷（卷一）理科选择题每题5分；填空题每题5分和5道必做题每题12分和三选一解答题10分。山东卷选择题每题5分；填空题每题5分和前四个解答题每题12分，最后两个解答题分别是13分和14分。
从解答题上来看，山东解答题标准的六大块：三角函数、立体几何、数列、概率统计、解析几何、函数与导数。而全国高考题解答题2024年是数列（理科前两年都是三角）、概率与统计、立体几何、解析几何、函数与导数，三选一包括几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲。
发现：概率与统计、立体几何、解析几何、函数与导数，三选一包括几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲，每年必考。而三角与数列的解答题交替出现。
2024年数列只考了一个解答题，而2013及2024年只考了小题，解答题是三角。
三、全国卷（卷一）试卷结构与难度。
为方便查阅，我们备课组齐心协力把这近三年的全国高考题做了一个大致统计，尤其是对2024年的全国卷做了一个仔细的分析，结果如下：
一）、三年来理科高考都考了什么？
二）、试卷题目特点。
1、平稳过渡、先易后难。
试题总的来说过渡比较平稳，由易到难，逐步递进，符合学生做题习惯。
2、立足基础、覆盖面广。
在全面考查的前提下，高中数学的六大主干知识仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点内容。另外，考试内容体现了新课标要求，算法与框图、三视图、统计、概率和分布列、推理与证明等均在试卷中都有所体现。
3、淡化计算、强调应用。
如：14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过a，b，c三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过b城市；
乙说：我没去过c城市；
丙说：我们三人去过同一个城市。
由此可判断乙去过的城市为。
在该题中“没有公式，没有原理，没有运算，只考查推理能力。数学是培养理性思维的重要途径，通过平时学习的各种方法，进行大量的练习，最终是要让学生掌握逻辑推理的能力、理性思维的方法，因此今年的数学高考试题中，加大了逻辑推理能力所占的比例，题目占到50%以上。逐渐转变以往靠老师给总结的结论来解题的命题方式。
计算并不是不重要，而是要把计算同逻辑推理结合起来，即使要计算也首先要通过逻辑推理之后再计算。这种通过所学知识、获得解决问题的方法并能就解决生活实际中可能遇到的问题，体现了高考改革的方向。
三）试题分析。
通过对比三年全国卷卷一（理科）发现：
客观题：考试内容基本没有什么变化，集合、复数、程序框图、圆锥曲线、函数图像与性质、三视图、排列组合、不等式线性规划、常用逻辑用语等板块均有所涉及。
1—5题：集合、复数、函数性质、圆锥曲线标准方程、排列组合非常注重基础，完全是常规的方法和不变的题型，属于送分题目。
题：涉及程序框图、圆锥曲线、函数性质、三视图等内容，难度也不大。10题，圆锥曲线题更注重了几何层次的考查。
12题，考查三视图，完全没有2024年那种没有思路、无从下手的感觉，比较容易拿分。
2024年高考数学试卷分析 江苏卷
命题范围 高中数学必修 选修 2或选修 3 选修系列四。文科 艺术总分160分，理科200分，其中选择题70分 14 5 解答题90分 分 分 理科部分40分 分 选做2题，分为a b c d 均为10分，为必做题。一 填空题 第1题 考查的是交集及其运算，考查基础知识，难度较小。第2题 考查的是复...
2024年高考数学试卷分析 江苏卷
命题范围 高中数学必修 选修 2或选修 3 选修系列四。文科 艺术总分160分，理科200分，其中选择题70分 14 5 解答题90分 分 分 理科部分40分 分 选做2题，分为a b c d 均为10分，为必做题。一 填空题 第1题 考查的是交集及其运算，考查基础知识，难度较小。第2题 考查的是复...
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命题范围 高中数学必修 选修 2或选修 3 选修系列四。文科 艺术总分160分，理科200分，其中选择题70分 14 5 解答题90分 分 分 理科部分40分 分 选做2题，分为a b c d 均为10分，为必做题。一 填空题 第1题 考查的是交集及其运算，考查基础知识，难度较小。第2题 考查的是复...