绝密*启用前。
2023年高考数学(理)信息卷附答案。
第ⅰ卷（选择题共60分）
选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．复数，则实数的值是（ ）
a． bcd．
2．在等差数列中，那么该数列。
的前14项和为（ ）
a．20 b．21 c．42 d．84
3．为调查衡水市高中三年级男生的身高情况，选取了人作为样本，右图是此次调查中的某一项流程图，若其输出的结果是，则身高在以下的频率为( )
a． b． c． d．
4．给出下列命题。
若直线与平面内的一条直线平行，则∥；
若平面平面，且，则过内一点与垂直的直线垂直于平面；
已知，则“”是“”的必要不充分条件．
其中正确命题的个数是( )
a.4b.3c.2d.1
5. 在的展开式中，常数项为（ ）
a. －36b. 36c. －84d. 84
6.下图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）
a. b. c. d.
7．设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率为（ ）
a． b． c． d．
8．若双曲线的左、右顶点分别为a、b，点p是第一象限内双曲线上的点。若直线pa、pb的倾斜角分别为α，β且，那么α的值是（ ）
a． b． c． d．
9.定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为（ ）
abcd．10.如图，正方体的棱长为，以顶点a为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（ ）
a. b. c. d.
11. 已知，，规定：当时， ；当时， ，则（ ）
a. 有最小值，最大值1 b. 有最大值1,无最小值。
c. 有最小值，无最大值 d. 有最大值，无最小值。
12.已知两点a (1,2), b (3,1) 到直线l的距离分别是，则满足条件的直线l共有 （ 条。
a.1b.2 c.3d.4
卷（主观题共90分）
二、填空题（每题5分，共20分，注意将答案写在答题纸上）
13. 由直线x=与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为。
14. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为。
15．已知o是△abc的外心，ab=2，ac=3，x+2y=1,若则。
16.已知函数的定义域为[-1,5], 部分对应值如下表，的导函数的图像如图所示。下列关于的命题：
函数的极大值点为0, 4；
函数在[0,2]上是减函数；
如果当时，的最大值为2，那么t的最大值为4；
当时，函数有4个零点；
函数的零点个数可能为个。
其中正确命题的序号写出所有正确命题的序号)
三、解答题（本大题共6个小题，共７０分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
17.（本题满分10分）
在中，角a、b、c的对边分别为，且满足。
1）求角b的大小；（2）若，求面积的最大值。
18.（本题满分12分）
如图，矩形所在的平面与直角梯形所在的平面互相垂直，∥,且，，，
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求二面角的余弦值。
19. （本题满分12分）
某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）
甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41
乙：10 26 30 30 34 37 44 46 46 47
1）用茎叶图表示上述两组数据，并分别求两块地抽取树苗的高度的平均数和中位数；
2）绿化部门分配这株树苗的栽种任务，小王在株高大于35的7株树苗中随机的选种株，则小王选择时至少有一株来自甲苗圃的概率是多少？
3）现苗圃基地将甲、乙两块地的树苗合在一起，按高度分成。
一、二两个等级，每个等级按不同的****。某市绿化部门下属的2个单位计划购买甲、乙两地种植的树苗。已知每个单位购买每个等级树苗所需费用均为5万元，且每个单位对每个等级树苗买和不买的可能性各占一半，求该市绿化部门此次采购所需资金总额的分布列及数学期望值。
20．（本小题满分12分）
如图，设抛物线方程为，m为直线上任意一点，过m引抛物线的切线，切点分别为a、b.
1)设抛物线上一点p到直线l的距离为d，f为焦点，当时，求抛物线方程和线段ab的长；
2)求m到直线ab的距离的最小值。
21． (本题满分12分)
设函数f（x）＝x4＋bx2＋cx＋d，当x＝t1时，f（x）有极小值．
1）若b＝－6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；
2）在（1）的条件下，若存在实数c，使函数f（x）在闭区间［m－2，m＋2］上单调递增，求实数m的取值范围；
3）若函数f（x）只有一个极值点，且存在t2∈（t1，t1＋1），使f ′（t2）＝0，证明：函数g（x）＝f（x）－x2＋t1x在区间（t1，t2）内最多有一个零点．
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲。
自圆外一点引圆的一条切线，切点为，为的中点，过引圆的一条割线交圆于两点，且，，试求的大小。
23．（本小题满分10分）极坐标与参数方程。
已知直线/经过点，倾斜角，圆c的极坐标方程为。
（i）写出直线/的参数方程，并把圆c的方程化为直角坐标方程；
（ii）设l与圆c相交于两点a、b,求点p到a、b两点的距离之积．
24.（本小题满分10分）不等式选讲。
已知求证：.
理科三模数学测试题参***
17. 解：（1）条件可化为：．根据正弦定理有。
由基本不等式可知．
即， 故△abc的面积．
即当a =c=时，△abc的面积的最大值为12分。
18.解析：（ⅰ证明：因为//，平面，平面，所以//平面2分。
因为为矩形，所以//．
又平面，平面，所以//平面4分。
又，且，平面，所以平面//平面5分。
又平面，所以平面． …6分。
ⅱ）解：由已知平面平面，且平面平面，，所以平面，又，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系。 …7分。
由已知得，易得，．则8分。
设平面的法向量，则即令，则，．所以10分。
又是平面的一个法向量， 所以．
故所求二面角的余弦值为12分。
19.解：画出茎叶图如下：
………2分。
甲地树苗高度的平均数为，乙地树苗高度的平均数为，……2分。
甲地树苗高度的中位数为，乙地树苗高度的中位数为 。…4分。
2）都来自乙苗圃的概率为，所以至少有一株来自甲苗圃的概率为….7分。
3），设，则8分，的分布列为。
10分。该市绿化部门此次采购的资金总额的数学期望值为10万元………12分。
20.【解析】(1)由，得yp+2p-(yp+)=p=1，∴抛物线方程为2分。
设过m点的直线为y=k(x-2)-2，联立：，消去y，得 (*相切，则△=0
此时，方程(*)有等根x=k，xb=，xa4分。
xb- xa=，xb+ xa=.
a、b在抛物线上，yb- ya=
|ab6分。
(2)设m(m, -2p)， 直线ma：，直线mb：，把m(m, -2p)分别代入两直线方程得：，ab方程化为8分。
点m到ab的距离d=，…11分。
当且仅当，即时，上式成立等号， ∴m到直线ab的距离的最小值为。……12分。
21.解：（1）因为 f（x）＝x4＋bx2＋cx＋d，所以h（x）＝f ′（x）＝x3－12x＋c。……2分。
由题设，方程h（x）＝0有三个互异的实根，函数h（x）＝x3－12x＋c，则h ′（x）＝0，得x＝±2．
所以故－16（2）存在c∈（－16，16），使f ′（x）≥0，即x3－12x≥－c，（*所以x3－12x>－16，即（x－2）2（x＋4）>0（*）在区间［m－2，m＋2］上恒成立． …6分。
所以［m－2，m＋2］是不等式（*）解集的子集．
所以或m－2>2，即－248分。
3）由题设，可得存在α，βr，使f ′（x）＝x3+2bx＋c＝（x－t1）（x2＋αx＋β）且x2＋αx＋β≥0恒成立9分。
又f（t2）＝0，且在x＝t2两侧同号，所以f（x） ＝x－t1）（x－t2）210分。
另一方面，g ′（x）＝x3＋（2b－1）x＋t1＋c＝x3＋2bx＋c－（x－t1）＝（x－t1）［（x－t2）2－1］．
因为 t1 < x < t2，且 t2－t1<1，所以－1< t1－t2 < x－t2 <0．所以 0<（x－t2）2<1，所以（x－t2）2－1<0．
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