2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工农医类）
参考公式：如果事件a，b互相排斥，那么p（aub）=p（a）+p(b)。
棱柱的体积公式v=sh。其中s表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高。
一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1） i是虚数单位， =
a）1+2i （b）-1-2i （c）1-2i （d）-1+2i
2）设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为。
a）6 （b）7 （c）8 （d）23
3）命题“存在r， 0”的否定是。
a）不存在r, >0 （b）存在r, 0
c）对任意的r, 0 （d）对任意的r, >0
4）设函数则。
a在区间内均有零点。
b在区间内均无零点。
c在区间内有零点，在区间内无零点。
d在区间内无零点，在区间内有零点。
5）阅读右图的程序框图，则输出的s=
a 26 b 35 c 40 d 57
6）设若的最小值为。
a 8 b 4 c 1 d
7）已知函数的最小正周期为，为了得到函数。
的图象，只要将的图象
a 向左平移个单位长度 b 向右平移个单位长度
c 向左平移个单位长度 d 向右平移个单位长度
8）已知函数若则实数的取值范围是。
a b c d
9）．设抛物线=2x的焦点为f，过点m（，0）的直线与抛物线相交于a，b两点，与抛物线的准线相交于c， =2，则bcf与acf的成面积之比=
a） （b） （c） （d）
10）.0＜b＜1+a,若关于x 的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则。
a）-1＜a＜0 （b）0＜a＜1 （c）1＜a＜3 （d）3＜a＜6
二．填空题：（6小题，每题4分，共24分）
11）某学院的a，b，c三个专业共有1200名学生，为了调。
查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取
一个容量为120的样本。已知该学院的a专业有380名学生，b专业有420名学生，则在该学院的c专业应抽取___名学生。
12）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则。
a=__13) 设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为___
14)若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，则
15)在四边形abcd中， =1，1），，则四边形abcd的面积是
16）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17）（本小题满分12分）
在⊿abc中，bc=，ac=3，sinc=2sina
i) 求ab的值：
ii) 求sin的值
18）（本小题满分12分）
在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：
i） 取出的3件产品中一等品件数x的分布列和数学期望；
ii） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。
19）（本小题满分12分）
如图，在五面体abcdef中，fa平面abcd, ad//bc//fe，abad，m为ec的中点，af=ab=bc=fe=ad
i) 求异面直线bf与de所成的角的大小；
ii) 证明平面amd平面cde；
iii）求二面角a-cd-e的余弦值。
20）（本小题满分12分）
已知函数其中。
1） 当时，求曲线处的切线的斜率；
2） 当时，求函数的单调区间与极值。
21）（本小题满分14分）
以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。
1） 求椭圆的离心率；
2） 求直线ab的斜率；
3） 设点c与点a关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值
22）（本小题满分14分）
已知等差数列{}的公差为d（d0），等比数列{}的公比为q（q>1）。设1,n
i) 若== 1，d=2，q=3，求的值；
ii) 若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n；
ⅲ) 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列，， 证明。
2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答。
一． 选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
1）d （2）b （3）d （4）d （5） c
6）b （7）a （8）c （9）a （10）c
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分24分。
三．解答题。
17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。
ⅰ）解：在△abc中，根据正弦定理，
于是ab=ⅱ）解：在△abc中，根据余弦定理，得cosa=
于是 sina=
从而sin2a=2sinacosa=,cos2a=cos2a-sin2a=
所以 sin(2a-)=sin2acos-cos2asin=
18)本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。
ⅰ）解：由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为p(x=k)=,k=0,1,2,3.
所以随机变量x的分布列是。
x的数学期望ex=
ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件a，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件a1“恰好取出2件一等品“为事件a2，”恰好取出3件一等品”为事件a3由于事件a1，a2，a3彼此互斥，且a=a1∪a2∪a3而。
p(a2)=p(x=2)=,p(a3)=p(x=3)=,所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为。
p(a)=p(a1)+p(a2)+p(a3)=
19)本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分。
方法一：（ⅰ解：由题设知，bf//ce，所以∠ced（或其补角）为异面直线bf与de所成的角。
设p为ad的中点，连结ep，pc。因为feap，所以faep，同理abpc。又fa⊥平面abcd，所以ep⊥平面abcd。
而pc，ad都在平面abcd内，故ep⊥pc，ep⊥ad。由ab⊥ad，可得pc⊥ad设fa=a，则ep=pc=pd=a,cd=de=ec=，故∠ced=60°。所以异面直线bf与de所成的角的大小为60°
）证明：因为。
由（）可得，
方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得
所以异面直线与所成的角的大小为。
）证明： ，
又由题设，平面的一个法向量为。
20）本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。）解：
以下分两种情况讨论。
1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：
2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：
21）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分。
i） 解：由//且，得，从而。
整理，得，故离心率
ii） 解：由（i）得，所以椭圆的方程可写为。
设直线ab的方程为，即。
由已知设，则它们的坐标满足方程组。
消去y整理，得。
依题意， 而。
由题设知，点b为线段ae的中点，所以。
联立①③解得，
将代入②中，解得。
iii)解法一：由（ii）可知
当时，得，由已知得。
线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴。
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