2024年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）理科数学试题答案与解析。
1. 解析 ，对应复平面上的点为，在第一象限。选a.
2. 解析不妨设公比为，则，，，当时，知a，b均不正确；又，，同理，c不正确；由，，知d正确。
3. 解析由变量与正相关知c，d均错，又回归直线经过样本中心，代入验证得a正确，b错误。故选a.
4. 解析 ，由，得，解得。选c.
5. 解析程序框图的执行过程如下：，；循环结束。故可填入的条件为。故选c.
6. 解析为真命题，为假命题，故为假命题，为真命题。从而为假，为假，为假，为真。故选d.
7. 解析该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的，则其表面积。
选b.8. 解析设，，依题意不妨设，于是。
所以（舍去）.
所以，，所以，选b.
评注本题考查双曲线的定义及性质，依据条件列出关系式后，若直线求，则运算量很大，改为利用与的关系求解，巧妙转化，降低运算难度。
9. 解析先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有种，再剔除小品内节目的相邻的情况，共有种，于是符合题意得排法共有种。
10. 解析设的外接圆半径为，由三角形内角和定理知，，于是。
则，所以，所以，知c，d均不正确，所以a正确。事实上，注意到，，的无序性，并且，若b成立，a必然成立，排除b.故选a.
11. 解析因为，，所以，又因为，所以。
12. 解析显然，所以。
当且仅当时，有。
13. 解析易知是边长为2的等边三角形，故圆心到直线的距离为。即，解得。经检验均符合题意，则。
评注本题考查过定点的直线与圆相交的弦长问题，以及数形结合的思想方法，对综合能力要求较高。
14. 解析设，由切割线定理得，解得或（舍去）.又易知，于是。
15. 解析直线的普通方程为。曲线的直角坐标方程为，故直线与曲线的交点坐标为。故改点的极径。
16. 解析令，易求得，依题意得。
17. 解析 （）因为的图像上相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期，从而。又因为的图像关于直线对称，所以，.由得，所以。
）由（）得，所以。由得，所以。
因此。18. 解析 （）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为。
）的所有可能值为1，2，3，且，故的分布列为。
从而。评注本题考查概率的计算，随机变量的分布列及数学期望，其中概率的计算要求较高，不过整体难度不大，属中等偏易题。
19. 解析 （）如图，连接，，因为为菱形，则，且，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方形，建立空间直角坐标系。
因为，故，所以，，，
由，知，从而，即。
设，，则，，
因为，故，即，所以或（舍去），即。
）由（）知，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，由，，得。故可取，由，，得。故可取，从而法向量，的夹角的余弦值为，故所求二面角的正弦值为。
20. 解析 （）对求导得，由为偶函数，知，即，因为，所以。
又，故，.）当时，那么，故在上为增函数。
）由（）知，而，当时等号成立。
下面分三种情况进行讨论。
当时，对任意，，此时无极值；
当时，对任意，，此时无极值；
当时，令，注意到方程有两根，即有两个根，.
当时，；又当时，，从而在处取得极小值。
综上，若有极值，则的取值范围为。
评注本题考查函数导数的求法，利用导数处理单调性、极值等常规问题，以及基本不等式等。对运算能力要求较高，此外对分类讨论思想也有一定的要求。
21. 解析 （）设，，其中。
由得。从而，故。从而，由得，因此。
所以，故，.
因此，所求椭圆的标准方程为。
）如图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，，是两个交点，，，是圆的切线，且。
由圆和椭圆的对称性，易知，，.
由（）知，，所以，.
再由得。由椭圆方程得，即，解得或。
当时，，重合，此时题设要求的圆不存在。
当时，过，分别与，垂直的直线的交点即为圆心。
由，是圆的切线，且，知。
又，故圆的半径。
22. 解析 （）解法一：，.再由题设条件知。
从而是首项为0，公差为1的等差数列，故，即。
解法二：，，可写为，，.
因此猜想。下用数学归纳法证明上式：当时结论显然成立。
假设时结论成立，即，则。
这就是说，当时结论成立。所以。
）解法一：设，则。令，即，解得。
下用数学归纳法证明加强命题。
当时，，，所以，结论成立。
假设时结论成立，即。易知在上为减函数，从而，即。
再由在上为减函数得。
故，因此。这就是说，当时结论成立。
综上，符合条件的存在，其中一个值为。
解法二：设，则。
先证：.①当时，结论明显成立。
假设时结论成立，即。
易知在上为减函数，从而。
即。这就是说，当时结论成立。故①成立。
再证：.②当时，，，有，即时②成立。
假设时，结论成立，即。由①及在上为减函数，得，，.
这就是说，当时②成立。所以②对一切成立。
由②得，即，因此。③
又由①、②及在上为减函数得，即，所以，解得。④
综上，由②、③知存在使对一切成立。
评注本题考查由递推公式求解数列通项公式，数学归纳法，等差数列等内容。用函数的观点解决数列问题是处理本题的关键。
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