2023年高等学校全国统一数学文试题 (浙江)卷。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，查每小题做出的四个选择中，只有一道是符合要求的．
1．设集合，，则。
2．在二项式的展开式中，含的项的系数是。
3．抛物线的方程是。
4．已知，则。
5．设向量，，满足，且，，，则（ ）
6．函数在区间上的最大值是。
7．“，是“”的。
．充分而不必要条件必要而不充分条件
．充分必要条件既不充分也不必要条件。
8．如图，正三棱柱的各棱长都为，，分别是，的中点，则的长是。
9．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是 （
10．对，记作函数的最小值是 （
二、填空题，本大题共4小题，每小题4分，共16分．
11．不等式的解集是。
12．函数，的值域是。
13．双曲线上的点到右焦点的距离与到左准线的距离的比是，则等于。
14．如图，正四面体的棱长为，平面过棱，且，则正四面体上的所有点在平面内的射影构。
成的图形面积是。
三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分．
15．若是公差不为的等差数列的前项和，且成等比数列．
1）求数列的公式；
2）若，求的通项公式．
16．如图，函数，（其中）的图象与轴交于点．
1）求的值；
2）设是图象上的最高点，是图象与轴的交点，求与的夹角．
17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，底面，且，分别为的中点．
1）求证：；
2）求与平面所成的角．
18．甲、乙袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，个白球．现从甲、乙两袋中各任取2个球．
1）若，求取到的4个球全是红球的概率；
2）若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求．
19．如图，椭圆与过点，的直线有且只有一个公共点，且椭圆的离心率．
1）求椭圆方程；
2）设，分别为椭圆的左、右焦点，求证：．
20．设，若，，求证：
1）方程有实数；
3）设是方程的两个实根，则．
参***。一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题 5分，共 50分。
1）a（2）b （3）a （4）d （5）d （6）c （7）a （8）c （9）b （10）c
二、填空题：本题考察基本知识和基本运算。每小题 4分，满分 16分。
三、解答题
15）本题主要考察等差、等比数列的基本知识、考查运算及推理能力。满分 14分。
解：（ⅰ设数列的公差为，由题意，得
所以。因为所以故公比。
ⅱ）因为。所以因此。
16）解：（ⅰ因为函数图象过点（0，1）
所以，即因为所以。
ⅱ）由函数及其图象，得
所以从而。故。
17．解：方法一：
ⅰ）因为n是pb的中点，pa=ab,
所以an⊥pb
因为ad⊥面pab,
所以ad⊥pb. 从而pb⊥平面admn.
所以pb⊥dm.
ⅱ）连结dn， 因为pb⊥平面admn，所以∠bdn是bd与平面admn所成的角。
在中，故bd与平面admn所成的角是。
方法二： 如图，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，设bc=1，则
ⅰ）因为 所以pb⊥dm .
ⅱ）因为所以pb⊥ad.
又pb⊥dm.
因此的余角即是bd与平面admn.
所成的角。 因为所以=
因此bd与平面admn所成的角为。
18）本题主要考查排列组合、概率等基本知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。满分14分。
解：（ⅰ记“取到的4个球全是红球”为事件a.
ⅱ）记“取到的4个球至多有一个红球”为事件b，“取到的4个球只有1个红球”为事件，“取到的4个球全是白球”为事件。
由题意，得。
所以 化简，得
解得，或（舍去），
故。19）本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，考查解析几何的基本思想方法和综
合解题能力。满分 14分。
解：（ⅰ过 a、b的直线方程为。
因为由题意得有惟一解。即有惟一解，所以，
故又因为，即，
所以从而得故所求的椭圆方程为。
ⅱ）由（ⅰ）得，所以。
由解得， 因此。从而，因为， 所以。
20）本题主要考查二次函数的基本性质、不等式的基本性质与解法，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。满分 14分。
证明：（ⅰ若 a = 0, 则 b = c ,
f (0) f (1) =c (3a + 2b + c )，与已知矛盾， 所以 a ≠ 0.
方程= 0 的判别式。
由条件 a + b + c = 0，消去 b，得。
故方程 f (x) =0 有实根。
ⅱ）由条件，知， ,所以。
因为所以故。
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