一、填空题。
1．抛物线上的点到直线距离的最小值是 ．
答案】；提示】设抛物线上一点为，该点到直线的距离为。
当时，取得最小值为，2．已知平面内有一条定线段ab，其长度为4，动点p满足|pa|―|pb|=3，o是的中点，则|op|的最小值是。
答案】；提示】依据题意，p在以a,b为焦点的双曲线的一只上，o是双曲线的中心，双曲线顶点到中心的距离最小，最小值等于．
3．椭圆上有n个不同的点，椭圆的右焦点为f，数列是公。
差大于的等差数列，则n的最大值为
答案】200．
提示】的最大值为，最小值，，，
4．已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值是。
答案】32．
提示】设直线：，与抛物线方程联立得，，，当且仅当即时取等号，所以所求的值为32．
5．已知，则当mn取得最小值时，椭圆的离心率是。
答案】提示】由得，当且仅当即时取等号，由得．
6．已知为上的动点，则xy的最大值是。
答案】．提示】设，则。
7．坐标平面上有相异两个定点a，b和动点p，如果直线pa、pb的斜率之积为定值m，则点p的轨迹可能在以下那些曲线上： ．椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线．
答案】①②提示】设，则，依据讨论．
8．直线，当k变化时，直线被椭圆截得的最大弦长是 ．
答案】．提示】直线，恒过，又是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆的弦长即为点p与椭圆上任意一点q的距离，设椭圆上任意一点q。
9．抛物线y= x2上距最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是。
答案】．提示】设抛物线上一点，（）由题意及二次函数的性质可知，当时，恰好是抛物线顶点距点的距离最小，所以由．
10．已知，b是圆f： (f为圆心)上一动点，线段ab的垂直平分线交bf于p，则动点p的轨迹方程为。
答案】；提示】,所以在以为焦点的椭圆上。
11．设声速是a(m/s)，以相距10a(m)的a, b两个哨所听到一炮弹**声的时间相差6s，且b处的声强是a处声强的4倍（声强与距离的平方成反比），则炮弹**点p到ab中点m的距离是。
答案】12．抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m后，则水面宽是。
答案】13．电影放映机上的聚光灯泡的反射镜的轴截面是椭圆的一部分，灯丝在焦点f2处，而且灯丝与反光镜的顶点a的距离|f2a|=1.5cm，椭圆的通径|bc|=5.4cm，为了使电影机的片门获得最强的光线，灯泡应安在距片门的地方．
答案】12cm．
提示】如图建立坐标系．依条件求2c．
设焦距| f1f2|，则b点坐标为。
由椭圆定义，|bf1|+|bf2|=|oa|
即，解得(厘米)．
14．如图，圆形花坛水池**有一喷泉，水管op=1m，水从喷。
头p喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距。
水面2m，p距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池。
直径最小为。
答案】m．提示】如图7，建立平面直角坐标系，设抛物线方程。
则但，代入抛物线方程得，抛物线，代点，得，即，二、解答题。
15．已知椭圆e：，点p是椭圆上一点．
ⅰ）求的最值；
ⅱ）若四边形abcd内接于椭圆e，点a的横坐标为5，点c的纵坐标为4，求四边形面积的最大值．
解析】第（1）问的求解，既可以转化为二次函数问题，也可以用椭圆的参数方程。最值问题的求解可能设计二次函数、基本不等式、三角函数的有界性等方面的知识。
解析：（ⅰ由得，则
则，所以的最大值为25，最小值为16．
ⅱ）如图，由及椭圆方程得．同理，设为椭圆上任。
一点，又ac方程为，即．所以b到ac的距离为。
同理得d到直线ac的距离，所以四边形abcd最大面积．
16．已知△abc的两个顶点a、b的坐标分别为a，b，边ac、bc所在直线的斜率之积为。
ⅰ）求c点的轨迹m的方程，并讨论轨迹m是何曲线；
ⅱ）若，p，q为轨迹m上不同的两点，且，求直线bp与直线bq的斜率之积．
解析】（ⅰ设点c，则边ac所在的直线的叙率为，边bc所在的直线的斜。
率为依题意得， ∴c点的轨迹m的方程为：．
当时， =1表示焦点在轴上的椭圆（顶点，除外）；
当时， =1表示焦点在x轴上的双曲线（顶点，除外）；
（ⅱ）若，则点c的轨迹方程。
设p，q，直线pa为：,直线aq为：y=
由得。又直线bp的斜率为，直线bq的斜率为。
17．有一幅椭圆型彗星轨道图，长4cm，高cm，如下图，已知o为椭圆中心，a1，a2是长轴两端点，太阳位于椭圆的左焦点f处．
（ⅰ）建立适当的坐标系，写出椭圆方程，并求出当彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离；
（ⅱ）直线l垂直于a1a2的延长线于d点，od|=，设p是l上异于d点的任意一点，直。
线a1p，a2p分别交椭圆于m、n（不同于a1，a2）两点，问点a2能否在以mn为直径的圆上？
试说明理由．
解析】（i）建立图示的坐标系，设椭圆方程为依题意，椭圆方程为．f，将x=－1代入椭圆方程得。
当彗星位于太阳正上方时，二者在图。
中的距离为1.5㎝.
ⅱ）由（i）知，a1，a2，设m（在椭圆上，又点m异于顶点a1，a2，∴－2＜x0＜2，由p、m、a1三点共线可得p
p、a2、n三点共线，∴直线a2m与na2不垂直，点a2不在以mn为直径的圆上．
18．某地**为科技兴市，欲将如图5所示的一块不规则的非农业用地规划成一个矩形高科技工业园区。已知∥且km，曲线段oc是以点o为顶点且开口向右的抛物线的一段．
ⅰ）建立适当的坐标系，求曲线段的方程；
ⅱ）如果要使矩形的相邻两边分别落在ab、bc
上，且一个顶点落在dc上，问如何规划才能使矩形。
工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积．
精确到0.1km2）
解析】（ⅰ以o为原点，oa所在直线为y轴建立直角。
坐标系如图8，依题意可设抛物线方程为，且c（4,2）．.
故曲线段dc的方程为。
ⅱ）设是曲线段oc上的任意。
一点， 则在矩形pqbn中，.
工业区面积 .
又，令得。．
当时，，s是y的增函数；当时，，s是y的减函数。 时，s取到极大值，此时。
故。 时，．
答：当矩形的长为，宽为时，园区面积最大，约为。
19．已知a、b是双曲线上的两点，o是坐标原点，且满足，ⅰ）当，且时，求p点的坐标；
ⅱ）当时，求的值；
ⅲ）求｜ab｜的值．
解析】（ⅰ设，则由及点b在双曲线上，得。
解得或 ，或．，或．
即p点的坐标是，或．
ⅱ）设直线oa的方程为，则由。
得．．同理可得，．
由|op|·|ab|=|oa|·|ob|，得．
ⅲ）方法一：由|op|·|ab|=|oa|·|ob|， 故|ab|≥2，当且仅当|oa|=|ob|=时，等号成立．
故|ab|的最小值为2．
方法二：由（ⅱ）知，|ab|2=3（，．
设则，．当时， （不合，舍去）；
当时，，．当且仅当，即时取等号．
故|ab|的最小值为2．
20．已知双曲线的中心在原点o，右焦点为f，p是双曲线右支上一点，且的面积为。
ⅰ）若点p的坐标为，求此双曲线的离心率；
ⅱ）若，当取得最小值时，求此双曲线的方程．
解析】（ⅰ设所求的双曲线的方程为，由。
由点在双曲线上，解得，
离心率 （ⅱ）设所求的双曲线的方程为，则。
△ofp的面积为
解得 当且仅当时等号成立。
此时（舍）则所求双曲线的方程为．
圆锥曲线 2
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