单独成册]
一、选择题。
1．抛物线y＝－2x2的焦点坐标为( )
a. b.
c. d．答案：d
2．已知直线l过点(3，－1)，且椭圆c：＋＝1，则直线l与椭圆c的公共点的个数为( )
a．1 b．1或2
c．2 d．0
解析：选c.因为直线过定点(3，－1)且＋<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点．
3．双曲线－＝1的渐近线方程是( )
a．y＝±x b．y＝±x
c．y＝±x d．y＝±2x
答案：b4．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
a．－ b．－4
c．4 d．
解析：选a.由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m＜0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，所以b＝2，所以－＝b2＝4，所以m＝－.
5．若椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
a. b．c. d．
答案：b6．已知双曲线－＝1(a＞0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为( )
a．y＝±x b．y＝±x
c．y＝±x d．y＝±x
解析：选d.由题意可知实轴长2a、虚轴长4、焦距长2，因实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则2a＋2＝8，解得a＝，因此双曲线－＝1，则双曲线的渐近线方程为y＝±x.
7．已知p是抛物线x2＝4y上一点，抛物线的焦点为f，且|pf|＝5，则点p的纵坐标为( )
a．5 b．4
c．2 d．1
解析：选b.抛物线的焦点f(0，1)，准线方程为y＝－1，设抛物线上点p的坐标为(m，n)，则由抛物线的定义，可得|pf|＝d(d为点p到准线的距离)，故有n＋1＝5，解得n＝4.
8．若k∈r，则“k＞3”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
a．充分不必要条件。
b．必要不充分条件。
c．充要条件。
d．既不充分也不必要条件。
解析：选a.由题意，当k>3时，k－3>0，k＋3>0，所以方程－＝1表示双曲线．反之，若该方程表示双曲线，则(k－3)(k＋3)>0，所以k>3，或k<－3.
故“k>3”是“方程－＝1表示双曲线”的充分不必要条件．
9．双曲线－y2＝1的两个焦点分别为f1，f2，点p在双曲线上，且满足|pf1|＋|pf2|＝2，则△pf1f2的面积为( )
a. b．1
c. d．解析：选b.
双曲线的焦点坐标为f1(－2，0)，f2(2，0)，|f1f2|＝4，由双曲线定义||pf1|－|pf2||＝2，又由于|pf1|＋|pf2|＝2，两式分别平方再作差得|pf1|·|pf2|＝2，所以|pf1|2＋|pf2|2＝16＝|f1f2|2，则△pf1f2是直角三角形，则s△pf1f2＝|pf1||pf2|＝1，故选b.
10．设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
a．－4 b．－3
c．2 d．1
解析：选a.因为方程表示双曲线，所以a＜0，标准方程为－＝1，所以渐近线方程为y＝±x，所以＝，解得a＝－4.
11．若双曲线过点(m，n)(m＞n＞0)且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点( )
a．在x轴上 b．在y轴上。
c．在x轴或y轴上 d．无法判断。
解析：选a.因为m＞n＞0，所以点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上．
12．已知抛物线c与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线c的方程是( )
a．y2＝±2x b．y2＝±2x
c．y2＝±4x d．y2＝±4x
解析：选d.由题意可求得双曲线的焦点为(－，0)，(0)，设抛物线的方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝±4x.
13．设椭圆c：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1，f2，p是c上的点，pf2⊥pf1，∠pf1f2＝60°，则c的离心率为( )
a. b．－1
c. d．2－
解析：选b.不妨设pf1＝t(t>0)，pf2＝t，f1f2＝2t，e＝＝＝1.故选b.
14．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的( )
a．充分不必要条件。
b．必要不充分条件。
c．充要条件。
d．既不充分也不必要条件。
解析：选a.“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”，“直线与抛物线只有一个公共点”时，直线可能与对称轴平行，不一定相切，故”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件．
15．过抛物线y2＝4x焦点的直线交抛物线于a，b两点，若|ab|＝10，则ab的中点p到y轴的距离等于( )
a．4 b．5
c．6 d．7
解析：选a.结合题意，由于过抛物线y2＝4x焦点的直线交抛物线于a，b两点，且|ab|＝10，则由抛物线的定义可知，ab的中点p到准线的距离为5，那么ab中点y轴的距离等于5－1＝4，故选a.
16．若双曲线x2＋＝1的一条渐近线的倾斜角α∈，则m的取值范围是( )
a．(－3，0) b．(－0)
c．(0，3) d．
解析：选a.由题意可知m<0，双曲线的标准方程为x2－＝1，经过第。
一、三象限的渐近线方程为y＝x，因为其倾斜角α∈，所以＝tan α∈0，)，故m∈(－3，0)．
17．已知两圆c1：(x－4)2＋y2＝169，c2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆c1内部且和圆c1相内切，和圆c2相外切，则动圆圆心m的轨迹方程为( )
a.－＝1 b．＋＝1
c.－＝1 d．＋＝1
解析：选d.设圆m的半径为r，则|mc1|＋|mc2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，所以m的轨迹是以c1，c2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.
18．已知f1，f2为双曲线－＝1的左、右焦点，p(3，1)为双曲线内一点，点a在双曲线上，则|ap|＋|af2|的最小值为( )
a.＋4 b．－4
c.－2 d．＋2
解析：选c.|ap|＋|af2|＝|ap|＋|af1|－ 2a，要求|ap|＋|af2|的最小值，只需求|ap|＋|af1|的最小值，当a，p，f1三点共线时，取得最小值，则|ap|＋|af1|＝|pf1|＝，所以|ap|＋|af2|＝|ap|＋|af1|－ 2a＝－2.
二、填空题。
19．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线垂直于直线l：x－2y－5＝0，双曲线的一个焦点在l上，则双曲线的方程为___
解析：由题意得－＝－2，即b＝2a；而焦点(c，0)在x－2y－5＝0上，所以c＝5；双曲线中a2＋b2＝c2，解得a＝，b＝2，所以双曲线的方程为－＝1.
答案：－＝1
20．设f是双曲线c：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，若c上存在点p，使线段pf的中点恰为其虚轴的一个端点，则c的离心率为。
解析：由已知不妨设f(－c，0)，虚轴的一个端点为b(0，b)，b恰为线段pf的中点，故p(c，2b)，代入双曲线方程得＝5，即e2＝5，又e>1，故e＝.
答案：21．已知f1、f2为椭圆＋＝1的两个焦点，过f1的直线交椭圆于a、b两点．若|f2a|＋|f2b|＝12，则|ab
解析：(|af1|＋|af2|)＋bf1|＋|bf2|)＝ab|＋|af2|＋|bf2|＝2a＋2a＝20，即|ab|＝8.
答案：822．边长为1的等边三角形aob，o为原点，ab⊥x轴，以o为顶点，且过a，b的抛物线方程是。
解析：该等边三角形的高为。因而a点坐标为或。可设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)．a在抛物线上，因而p＝±.因而所求抛物线方程为y2＝±x.
答案：y2＝±x
三、解答题。
23．已知椭圆m：＋＝1(a>b>0)过点(0，－1)，且离心率e＝.
1)求椭圆m的方程；
2)是否存在菱形abcd，同时满足下列三个条件：
a在直线y＝2上；
点b，c，d在椭圆m上；
直线bd的斜率等于1.
如果存在，求出a点坐标；如果不存在，请说明理由．
解： (1)由题意得解得。
所以椭圆m的方程为＋y2＝1.
2)不存在满足题意的菱形abcd，理由如下：
假设存在满足题意的菱形abcd.
设直线bd的方程为y＝x＋m，b(x1，y1)，d(x2，y2)，线段bd的中点q(x0，y0)，点a(t，2)．
由得4y2－2my＋m2－3＝0.
由δ＝(2m)2－16(m2－3)>0，解得－2因为y1＋y2＝，所以y0＝＝.
因为四边形abcd为菱形，所以q是ac的中点．
所以c点的纵坐标yc＝2y0－2＝－2<－1.
因为点c在椭圆m上，所以yc≥－1.这与yc<－1矛盾．
所以不存在满足题意的菱形abcd.
24．设f1，f2分别是椭圆e：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过f1的直线l与e相交于a，b两点，且|af2|，|ab|，|bf2|成等差数列．
1)求|ab|；
2)若直线l的斜率为1，求b的值．
解：(1)由椭圆定义知|af2|＋|ab|＋|bf2|＝4，又2|ab|＝|af2|＋|bf2|，得|ab|＝.
2)设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a，b两点坐标满足方程组。
化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线ab的斜率为1，所以|ab|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|.
则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝因为0＜b＜1.所以b＝.
25．在平面直角坐标系xoy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点p和q.
1)求k的取值范围；
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