例1,例2.已知点a的坐标是(1,1)，f是椭圆的左焦点，点p在椭圆上移动，1）求的最小值并求取最小值时点p的坐标；
2）求的最大值和最小值。
分析：此题与椭圆的焦点有关，考虑到椭圆的离心率为，因此第一问可以根据第二定义转化为点p到左准线的问题，而第二问不能根据第二问来转化，我们可以考虑第一定义。
解：由椭圆方程可知a=3,b=,则c=2,1）过p向椭圆的左准线作垂线，垂足为q，,则据椭圆的第二定义知，∴.
从而=.易知当a、p、q在同一条线上时， 最小，最小值为，此时点p.
2）设椭圆右焦点为，则∴=，利用-≤≤6+,≥6-.
点拨：一般地，遇到有关焦点或准线问题，首先应考虑定义来解题，根据题目条件和所要求解的结论选择第一或第二定义。
例3.（1）求经过点，且与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位，即确定椭圆的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值；③写出方程。
解：（1）∵椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），由椭圆的定义知，，又∵，∴所以，椭圆的标准方程为。
点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x轴上，设方程为，若焦点在y轴上，设方程为，有时为了运算方便，也可设为，其中。
例4 设点p（x，y）在椭圆，试求点p到直线的距离d的最大值和最小值。
解：点p（x，y）在椭圆上，设点p（）（是参数且），则。
当时，距离d有最小值0，此时椭圆与直线相切；当时，距离d有最大值2。
例5.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点p（3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。
分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位，即确定椭圆的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值；③写出方程。
解：方法一：①若焦点在x轴上，设方程为，∵点p（3,0）在该椭圆上∴即又，∴∴椭圆的方程为。②若焦点在y轴上，设方程为，∵点p（3,0）在该椭圆上∴即又，∴∴椭圆的方程为。
方法二：设椭圆方程为。∵点p（3,0）在该椭圆上∴9a=1，即，又∴，∴椭圆的方程为或。
例6.设p是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。
解析：依题意可设p(0,1)，q(x,y),则 |pq|=，又因为q在椭圆上，所以，x2=a2(1－y2)， pq|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2，=(1－a2)(y－)2－+1+a2 。
因为|y|≤1,a>1, 若a≥, 则≤1, 当y=时， |pq|取最大值，若1例7.设椭圆的左焦点、右焦点分别为、，点p在椭圆上，,求证：的面积。
分析】有关椭圆的焦半径问题用定**决比较方便。
解：设，，则，又，由余弦定理得。
=，于是=，所以。
从而有=点拨】①解与△p f1f2（p为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并且结合pf1+pf2=2a来求解。②注意解题过程中的整体消元方法。
例8. 已知椭圆上一点p到左焦点的距离为12，则p点到左准线的距离为。
例9.椭圆（a>b>0）的二个焦点f1(-c，0)，f2(c，0)，m是椭圆上一点，且。
1）求离心率e的取值范围；
2）当离心率e最小时，点n(0，3)到椭圆上一点的最远距离为，求此椭圆的方程。
分析：离心率与椭圆的基本量a、b、c有关，所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标，再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式，从而确定离心率的范围。
解：（1）设点m的坐标为(x，y)，则，。由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。 ①
又由点m在椭圆上，得y2=b2，代入①，得x2-c2，即。
0≤≤，0≤≤，即0≤≤1，0≤≤1，解得≤≤1。
又∵0＜＜1，∵≤1。
2）当离心率取最小值时，椭圆方程可表示为。
设点h(x，y)是椭圆上的一点，则|hn|2=x2+(y-3)2=(2b2-2y2)+(y-3)2=- y+3)2+2b2+18(-b≤y≤b)。若0＜b＜3，则0＞-b＞-3，当y=-b时，|hn|2有最大值b2+6b+9。由题意知：
b2+6b+9=50，b=或b=-，这与0点拨：解几中求基本量a、b、c、e等取值范围的解题思路一般可以做如下考虑①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解。
例10. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱。
宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设。
计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧。
道的土方工程量最最小？
（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高。本题结果精确到0.1米）
解：（1）如图建立直角坐标系，则点p（11，4.5）， 椭圆方程为。
将b=h=6与点p坐标代入椭圆方程，得。因此隧道的拱宽约为33.3米。
2）解法一：
由椭圆方程，得。
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小。
解法二：由椭圆方程，得于是。
得以下同解一。
基础练习】1．已知△abc的顶点b、c在椭圆上，顶点a是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在bc边上，则△abc的周长是
2.椭圆的离心率为。
3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为f（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是
4. 已知椭圆的离心率，则的值为。
5 椭圆的焦点 ，p为椭圆上的一点，已知，则△的面积为 9__
6.曲线与曲线的（d）
a 焦点相同 b 离心率相等 c准线相同 d 焦距相等。
7.如果椭圆上的点a到右焦点的距离等于4,那么点a 到两条准线的距离分别是
8．椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是
9 离心率，一条准线为的椭圆的标准方程是。
10.设椭圆上一点p到左准线的距离为10，f是该椭圆的左焦点，若点m满足，则__2___
反馈练习：1.如果表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（0，1）
2.设椭圆的两个焦点分别为f1、、f2，过f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若△f1pf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是。
3.椭圆=1的焦点为f1和f2，点p在椭圆上。如果线段pf1的中点在y轴上，那么|pf1|是|pf2|的7倍。
4.若椭圆的离心率，则的值为
5.．椭圆的右焦点到直线的距离为。
6.与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是或。
7.已知数列的两顶点a、c是椭圆的二个焦点，顶点b在椭圆上，则。
8.椭圆上的点到直线的最大距离是。
9.若动点(x,y)在曲线(b>0)上变化，则x2+2y的最大值为。
10. 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出和（或和）的值．从而求得椭圆方程．
解：设两焦点为、，且，．
从椭圆定义知．即．
从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，可求出，，从而．
所求椭圆方程为或．
11.已知椭圆的焦点是f1（－1，0）,f2（1，0）,p为椭圆上的一点，且|f1f2|是|pf1|和|pf2|
的等差中项。（1）求椭圆方程； （2）若点p在第三象限，且∠p f1f2=120°，求tan∠f1pf2。
解：(1)由题设2|f1f2|=|pf1|+|pf2|，c=1。∴2a=4，∴b=。∴椭圆方程为。
2)设∠f1pf2=θ,则∠pf2 f1=60°－θ由正弦定理并结合等比定理可得到。
化简可得，∴,从而可求得tan∠f1pf2=。
12.从集合中任选两个元素作为椭圆方程中的m和n,则能组成落在矩形区域b=内的椭圆个数为72
13.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为。
14．已知f1、f2为椭圆的两个焦点，过f1作倾斜角为的弦ab，则△f2ab的面积为。
15.已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为。
16.椭圆上的点p到它的左准线的距离是10，那么点p 到它的右焦点的距离是 12
17.设椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为f1，右准线为l1，若过f1且垂直于x轴的弦的长等于点f1到l1的距离，则椭圆的离心率是。
18.若椭圆内有一点p（1,-1）,f为右焦点，椭圆上有一点m，使最小，则点m为。
19．设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是
20. 设为椭圆左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于两点，当四边形面积最大时，的值等于 2 .
圆锥曲线 椭圆
圆锥曲线总结 1.无计算，有计算也是口算。做不对主要是因为计算太多。2.越算越简单，越算越复杂说明算错了。3.无立方等高次项，高次项都是可消去的，消不去说明算错了。4.不通分，整体处理分母，分母其实没有什么意义。5 圆锥曲线大题只用与直线联立一次。定点定值问题。题型一 直线过定点问题。要证明直线过定...
圆锥曲线 椭圆 复习讲义 2
教学目标 使学生掌握与椭圆有关的动的轨迹求法。教学重 难点 动点轨迹的求法。教学过程 一 基础训练 1 平面内与两个定点a b的距离之和为常数的点的轨迹是 a 椭圆 b 线段 c 不存在 d 以上都有可能。2 中，顶点a b c所对三边长分别为，已知点 c 1，0 则顶点b的轨迹方程是。ab c d...
圆锥曲线 椭圆 练习题
3 在椭圆 1内，通过点m 1,1 且被这点平分的弦所在的直线方程为 a x 4y 5 0b x 4y 5 0 c 4x y 5 0d 4x y 5 0 答案 a4 设f1 f2分别是椭圆 1的左 右焦点，p为椭圆上任一点，点m的坐标为 6,4 则 pm pf1 的最大值为 答案 155.如图，已知...