专题01 函数、初等函数的图象与性质。
2014高考考纲】
1)函数的概念和函数的基本性质是b级要求，是重要考点；
2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是b级；
3)幂函数是a级要求，不是热点考点，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。
命题趋势】1.集合的概念与运算是历年来必考内容之一，题型主要以选择填空题为主，单纯的集合问题以解答题的形式出现的机率不大，多数与函数的定义域、值域、不等式的解法相联系，解题时要注意利用韦恩图、数轴、函数图象相结合。另外，集合新定义信息题是近几年命题的热点，注意此种类型。
2.2023年的高考将会继续保持稳定，坚持考查集合运算，命题形式会更加灵活、新颖。
3.试题类型一般是一道填空题，有时与方程、不等式综合考查。
1．函数及其图象。
1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”．
2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．
2．函数的性质。
1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；
2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；
3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期t＝ka(k∈z)的绝对值．
3．求函数最值(值域)常用的方法。
1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；
2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；
3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；
4)导数法：适合于可求导数的函数．
4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质。
1)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；
2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0和α<0两种情况．
5．函数图象的应用。
函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用。
考点1、函数的性质及其应用。
例1】 (1)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f
2)(2013·苏州模拟)设奇函数y＝f(x)(x∈r)，满足对任意t∈r都有f(t)＝f(1－t)，且x∈时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f的值等于___
变式**】 (1)函数f(x)的定义域为r，f(－1)＝2，对任意x∈r，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为___
2)定义在r上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…f(2014
解析】(1)由f′(x)>2转化为f′(x)－2>0，构造函数f(x)＝f(x)－2x，得f(x)在r上是增函数，又f(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)>2x＋4，即f(x)>4＝f(－1)，所以x>－1.
考点2、函数的图象及其应用。
例2】 设奇函数f(x)在(0，＋∞上为增函数，且f(2)＝0，则不等式<0的解集为___
变式**】设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为___
方程f(x)＝x解的个数即y＝f(x)与y＝x图象的交点个数．由图知两图象有a，b，c三个交点，故方程有3个解．
答案】3例1】设函数f(x)＝lg，其中a∈r，对于任意的正整数n(n≥2)，如果不等式f(x)＞(x－1)lg n在区间[1，＋∞上有解，则实数a的取值范围为___
变式**】 已知函数f(x)＝2＋2的定义域是[a，b]，其中0＜a＜b.
1)求f(x)的最小值；
2)讨论f(x)的单调性．
2)由t＝＋≥2，当且仅当＝，即x＝时等号成立，且t＝＋在[a，]上单调递减，在[，b]上单调递增，且y＝t2－2t＋2－2是上单调递增函数，所以f(x)在区间[a，]上单调递减，区间[，b]上单调递增。
1．函数f(x)＝的定义域为___
解析】由题意所以x∈(0，]．
答案】(0，]
2．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a等于___
3．已知定义域为r的函数f(x)＝是奇函数，则a
4．已知f(x)＝ln(1＋x)的定义域为集合m，g(x)＝2x＋1的值域为集合n，则m∩n
解析】由对数与指数函数的知识，得m＝(－1，＋∞n＝(1，＋∞故m∩n＝(1，＋∞
答案】(1，＋∞
5．已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则a的取值范围为___
6．已知a＝20.5，b＝2.10.5，c＝log21.5，则a，b，c的大小关系是___
7．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是___
8．已知函数y＝f(x)是r上的偶函数，对x∈r都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有<0，给出下列命题：
f(2)＝0；
直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；
函数y＝f(x)在[－4,4]上有四个零点；
f(2 014)＝0.
其中所有正确命题的序号为___
9．已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a>1)，若函数y＝g(x)的图象上任意一点p关于原点对称的点q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．
1)写出函数g(x)的解析式；
2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．
10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，f(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．
1)求f(x)的表达式；
2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．
2)由(1)知，g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.
g(x)在[－2,2]上是单调函数，≤－2或≥2，解得k≤－2或k≥6.
所以k的取值范围是(－∞2]∪[6，＋∞
11．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈r且e为自然对数的底数)．
1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；
2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
基本初等函数图像及性质
1 常值函数 也称常数函数 y c 其中c 为常数 2 幂函数 是自变量，是常数 1.幂函数的图像 2.幂函数的性质 1 当 为正整数时，函数的定义域为区间为，他们的图形都经过原点，并当 1时在原点处与x轴相切。且 为奇数时，图形关于原点对称 为偶数时图形关于y轴对称 2 当 为负整数时。函数的定义...
基本初等函数图像及性质小结
整理。为高等数学小结的 基本初等函数。1.函数的五个要素 自变量，因变量，定义域，值域，对应法则。2.函数的四种特性 有界限，单调性，奇偶性，周期性复习的时候一定要从这四个方面去研究函数。3.每个函数的图像很重要。幂函数 为高等数学小结的 基本初等函数。1.函数的五个要素 自变量，因变量，定义域，值...
基本初等函数图像及性质小结
为高等数学小结的 基本初等函数。幂函数 a为实数 1 图形 要记住最常见的几个幂函数的定义域及图形 2 定义域 随a的不同而不同，但无论a取什么值，x a在内总有定义值域 随a的不同而不同。3 主要性质 若a 0,函数在内单调增加 若a 0,函数在内单调减少。指数函数 1 图形 2 定义域值域 3 ...